机构学与机器人学6机器人的动力学

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1、第六章机器人的动力学分析机器人操作的动态数学模型，主要采用下列两种理论：（1）动力学基本理论，包括牛顿-欧拉方程。（2）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程。拉格朗日函数L被定义为系统的动能K和位能P之差，即:（4.1）其中，K和P可以用任何方便的坐标来表示。系统动力学方程式，即拉格朗日方程如下：（4.2）式中，为表示动能和位能的坐标，速度，而为相应的Fi是力或是力矩，由qi为直线坐标或角坐标所决定。这些力、力矩和坐标称为广义力、广义力矩和广义坐标，n为连杆数目。Fi为作用在第i个坐标上的力或是力矩。4.1.1刚体的动能与位能在理论力学或物理力学部分，曾对如图4.1所示的一般物体

2、平动时所具有的动能和位能进行过计算，其求法是大家所熟悉的，如下：式中，表示物体所具有的动能K、位能P，所消耗的能量D和外力所做的功W；M0和M1为支架和运动物体的质量；x0和x1为运动坐标；g为重力加速度；k为弹簧虎克系数；c为摩擦系数；F为外施作用力。对于这一问题，存在两种情况。1、为广义坐标其中，左式第一项为动能随速度（或角速度）和时间的变化；第二项为动能随位置（或角度）的变化；第三项为能耗随速度的变化；第四项为位能随位置的变化。右式为实际外加力或力矩。代入相应各项的表达式，并化简可得:表示为一般形式为:即为所求x0=0时的动力学方程式。其中，左式三项分别表示物体的加速度、阻

3、力和弹力，而右式两项分别表示外加作用力和重力。2、均为广义坐标这时有下式:或用矩阵形式表示为:下面来考虑二连杆机械手（见图4.2）的动能和位能。这种运动机构具有开式运动链，与复摆运动有许多相似之处。图中，T1和T2为转矩，m1和m2为连杆1和连杆2的质量，且以连杆末端的点质量表示；d1和d2分别为两连杆的长度，θ1和θ2为广义坐标；g为重力加速度。先计算连杆1的动能K1和位能P1。因为:，所以有:再求连杆2的动能K2和位能P2:式中:于是可求得:以及:这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能分别为:（4.3）（4.4）将相应各导数和偏导数代入(4.2)，即可求得力矩T1和T2的动力

4、学方程式：重力项：在分析简单的二连杆机械手系统的基础上，我们分析由一组A变换描述的任何机械手，求出动力学方程。推导过程分五步进行。（1）计算任一连杆上任一点的速度；（2）计算各连杆的动能和机械手的总动能；（3）计算各连杆的位能和机械手的总位能；（4）建立机械手系统的拉格朗日函数；（5）对拉格朗日函数求导，以得到动力学方程式。图4.4表示一个四连杆机械手的结构。我们先从这个例子出发，求得此机械手某个连杆（例如连杆3）上某一点（如点P）的速度、质点和机械手的动能与位能、拉格朗日算子，再求系统的动力学方程式。然后，由特殊到一般，导出任何机械手的速度、动能、位能和动力学方程的一般表达式。

5、4.2.1速度的计算图4.4中连杆3上点P的位置为：式中，为总（基）坐标系中的位置矢量；为局部（相对关节O3）坐标系中的位置矢量；T3为变换矩阵，包括旋转变换和平移变换。对于任一连杆i上的一点，其位置为:（4.14）点P的速度为:式中，，所以有对于连杆i上任一点的速度为P点的加速度P点速度的平方对于任一机械手上一点的速度平方为式中，Trace表示矩阵的迹。对于n阶方程来说，其迹即为它的主对角线上各元素之和。4.2.2动能和位能的计算令连杆3上任一质点p的质量为dm，则其动能为任一机械手连杆i上位置矢量其动能如下式表示：的质点，对连杆3积分dK3，得连杆3的动能为式中，积分称为连杆

6、的伪惯量矩阵，并记为这样，任何机械手上任一连杆i动能为（4.17）式中，Ii为伪惯量矩阵，其一般表达式为根据理论力学或物理学可知，物体的转动惯量、矢量积以及一阶矩量为如果令于是可把Ii表示为（4.18）具有n个连杆的机械手总的动能为（4.19）此外，连杆i的传动装置动能为式中，Iai为传动装置的等效转动惯量，对于平动关节，Iai为等效质量；为关节i的速度。所有关节的传动装置总动能为于是得到机械手系统（包括传动装置）的总动能为（4.20）下面再来计算机械手的位能，一个在高度h处质量为m的物体，其位能为连杆i上位置处的质点dm，其位能为式中，其中，mi为连杆i的质量：关节坐标系的重心

7、位置。为连杆i相对于其由于传动装置的重力作用Pai一般是很小的，可以略之不计，所以，机械手系统的总位能为（4.21）4.2.3动力学方程的推导据式（4.1）求拉格朗日函数（4.22）再据式（4.2）求动力学方程。先求导数据式（4.18）知，Ii为对称矩阵，即，所以下式成立当p>i时，后面连杆变量qp对前面各连杆不产生影响，即。这样可得因为所以再求项在上列两式运算中，交换第二项和式的哑元j和k，然后与第一项和式合并，获得化简式。把上述两式代入（4.2）的右式得交换上列各和式中的哑元