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1、自动控制原理Ⅱ第五章李雅普诺夫稳定性分析方法1.1892年A.m.Lyapunov发表的《运动稳定性的一般问题》提出了稳定性的一般概念和方法.2.Lyapunov方法可适用于线性系统,非线性系统,时变或非时变系统,连续时间系统或离散时间系统.3.本节研究的内容是基于常微分方程描述的动力学系统,并分为两种分析方法.（1）Lyapunov第一方法:也称间接法,属于小范围稳定性分析方法。基本思路是:将非线性自治系统运动方程在足够小的邻域内进行泰勒展开导出一次近似线性系统.再根据线性系统特征值在复平面上分布,推断非线性系统在邻
2、域内的稳定性.在Lyapunov第一法中,有一个基础性的问题,即将非线性方程线性化的问题.实际上其方法的主要数学工具是泰勒展开式,即对函数f(x)在邻域内展开后仅取线性项,忽略高阶次项称上式为f(x)非线性函数在邻域内的线性函数表达.故而必须要足够小,其变化应在的小邻域内进行,即运动是非常小的,因为运动亦可称为一种扰动,因此上述方法常称为小扰动线性化.例子:一个系统的描述输入输出的模型为其中x:输入,y:输出.设是平衡点,即满足由于均为常数,则从而有令则方程左边是将方程右边在点处,用泰勒展开,并取到一次项,忽略高次项,
3、故有从而有显然代入后,得到两边进行拉氏变换得(初始状态),则则有故线性模型G(s)描述了非线性方程在处和的运动特性,而Laypunov第一方法,则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动范围内运动稳定性.（2）李雅普诺夫第二方法也称直接法,属于直接根据系统结构判断内部稳定性的方法.该方法直接面对非线性系统,基于引入具有广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏函数的定量性,建立判断稳定性的相应结论.因此直接法也是一般性方法----Lyapunov第二法更具有一般性.（3）用李氏方法分析的必要性以一个例子说明:用特征值来
4、判断线性时变系统一般稳定性是会失效的.其中特征值为-1,-1.但由于其解为当时,若则必有故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现是不收敛和发散的.从而采用特征值判断失效.一.系统运动稳定性的性质.运动稳定性的实质,归结为系统平衡状态的稳定性.平衡状态的稳定性问题实际就是:偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素,或者使之限制在平衡状态的有限临域内,或者使之同时返回平衡状态.从而要讨论三个重要概念:1.自治系统.2.平衡状态.3.受扰运动.1.自治系统定义地:自治系统定义为不受外部影响即没有输入作用的一类系统.一
5、般情形的系统描述:线性时变系统的描述:线性时不变的描述:2.平衡状态定义:对连续时间非线性时变系统,自治系统的平衡状态定义为状态空间满足属性的一个状态.下面对平衡状态的说明:(1).平衡状态的直观含义,平衡状态直观上为系统处于平衡时可能具有一类状态,系统平衡的基本特征.(2).平衡状态的形式.平衡状态可由方程定出,对二维自治系统,的形式包括状态空间中的点和线段.(3).不唯一性.平衡状态一般不唯一.对定常线性系统而言,平衡状态为方程的解.若矩阵A非奇,则有唯一解若矩阵A奇异,则解不唯一.(4).孤立平衡状态,该状态是指
6、状态空间彼此分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换为状态空间的原点.(5).对平衡状态的约定：Lyapunov第二法中,对稳定性的分析主要针对孤立平衡状态,从而在研究中可把平衡状态设为空间原点.3.受扰运动.定义:受扰运动定义为其自治系统由初始扰动引起的一类状态运动.也就是零输入响应,在稳定性分析中,可将非零初始状态看成为相对于零平衡状态的一个状态扰动.二.Lyapunov意义下的稳定性(实际上只刻划稳定性或描述)自治系统受扰后,其状态自平衡状态发生偏离,随后在所有时间内系统的响应
7、可能出现下列情况.(1)系统响应是有界的(2)系统响应不但有界,而且最终回到原先的初始状态.(3)系统自由响应无界.1.预备知识.设代表系统的平衡状态,用下式表示在平衡状态周围半径为k的球域：.式中称为欧氏范数,它代表向量的长度.因此:A.对应于系统的初始条件可以划出一个球域S(δ)它的范数为其中为初始时刻时的状态变量.B.球域S(ε),它能将的解的所有点都包围在内,其范数为2.现对李雅普诺夫意义下的稳定性用上述方法进行定义实际上也是对平衡状态稳定性的定义.定义:如果对任意给定的ε>0,都对应存在另一依赖于ε和的实数,
8、使得满足不等式:的任一初始状态出发的受扰运动都满足不等式则称自治系统的孤立平衡状态在时刻为李雅普诺夫意义下稳定.3.渐近稳定性一般来讲,如果受扰运动能回到原来的平衡状态,则称该平衡状态是渐近稳定的.定义:如果上述自治系统1)平衡状态为李雅普诺夫意义下的稳定,2)存在可任给的实数μ>0,能使任一初始时刻出发的受扰运动满足注意,该定义
