《非线性方程组解法》PPT课件

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1、非线性方程(组)解法的内容非线性方程的解法非线性方程组的解法1.解法牛顿法及牛顿型迭代法（拟牛顿法等)；搜索法；牛顿迭代法；弦截法；多项式方程求根延拓法；最速下降法；2.简单迭代法与牛顿迭代法的收敛性2.牛顿法、割线法、延拓法等的收敛性二分法；简单迭代法；（牛顿法、劈因子法）1.解法非线性最小二乘问题的计算方法§1基础知识1.1非线性方程(组)及解的概念2.常见的非线性方程高次方程,即多项式方程超越方程例1.产生的背景:科学理论与工程技术都可化为非线性方程(组)第七章非线性方程（组）解法非线性最小二乘问题；非线性积分、微分方程数

2、值解3.非线性方程的解：f(x)=0的根，或称为函数f(x)的零点.注：(１)方程的根可能是实数也可能是复数，相应地称为方程的实根或复根。如果函数f(x)可因式分解为且称x*为函数f(x)的m重零点，或称为方程f(x)=0的m重根;当m＝１时，称x*为函数f(x)的单重零点，又称作方程f(x)=0的单根;如果称x*为方程f(x)=0的m重根.(２)重根亦可利用导数来定义(略)。若存在数x*满足f(x*)=0，则x*称为方程记为：f(x)=0１．求解的特点：无求解公式，无直接解法，难求得精确解。举例:超越方程1.2非线性方程(组)

3、求解的特点间接法(迭代法):从一个初始近似值出发,重复某种计算过程没有一定的解法。间接法即迭代法。来不断改进近似解，有限次改进后,计算出一个满足误差要求的近似解，这种求解方法称为迭代法。２．求解的方法：３．迭代法求解的要求：收敛计算效率(计算量)数值稳定性(计算机的舍入误差)初始值好迭代公式合适(好的)1.3收敛性和收敛阶定义1序列的收敛性序列的收敛阶(1)线性的,若定义2(2)超线性的,若(3)p阶收敛的,若注：ｐ=2时为二阶收敛,也称为平方收敛。§2初始近似值的搜索、二分法和插值法2.1逐步搜索法满足条件，2.解决问题依据连

4、续函数介值定理,即若f(x)满足条件：即[a,b]内至少有方程(2.1)的一个根,称[a,b]为f(x)的一个含根区间。若非线性方程f(x)=0(2.1)1.问题3.逐步搜索法思想方法（基本思想）根分布如何？如何确定求根区间？如何求根？把含根区间不断缩短，求的近似解。，那么方程是否有根？有根则f(x)在[a,b]存在某个x*且使含根区间之间含有一个满足误差要设连续函数f(x)的含根区间为[a,b]，不妨假定f(a)＜０，从出发，按预定步长h（譬如取为正整数），一步每跨一步进行一次根的“搜索”，即检查点上的函数值的符号，一旦发现一

5、步地向右跨，则可确定一个缩小了的含根区间，其长度等于预定的步长h。特别地，可能有这时xk即为所求的根。例1方程f(x)=x3-x-1=0，利用逐步搜索法确定一个含根区间。解在区间（0，2）内至少有一个实根。设从x=0出发，取h=0.5为步长向右进行根的搜索，列表如下x00.51.01.52f(x)---++可以看出在[1.0,1.5]内必有唯一根4.具体过程（方法）2.2二分法(对分法或分半法)（满足条件）2.解决问题依据连续函数介值定理,至少存在某个即[a,b]内至少有方程(2.1)的一个根,称[a,b]为f(x)的一个含根区

6、间。3.思想方法（基本思想）把含根区间不断缩短，使含根区间之间含有一个满足误差要求的近似解。考虑非线性方程f(x)=0(2.1)并且有1.问题(3)生成含根区间：4具体过程（方法）满足下式:生成含根区间,满足：(3)生成含根区间：,满足（2.2）式，即生成含根区间一般的,近似解序列其极限为即序列收敛于的一个根即且说明只要就有此时可计算或估计二分法执行的次数k.事实上,由两边取对数得可取对于给定的误差界1.简单，对函数要求低(只要连续,在两个端点异号)；优点2.二分法是收敛的.例2用区间二分法求方程f(x)=x3-x-1=0在区间

7、[1.0,1.5]内的解一个实根.考虑f(x)=x3-x-1在区间[1.0,1.5]上的导数，f'(x)=3x2-1>0,从而函数f(x)在区间[1.0,1.5]上单调连续，所以函数f(x)在区间[1.0,1.5]上有唯一根。计算过程见表2-1表2-101234561.0001.25001.31251.32031.50001.37501.34381.32811.25001.37501.31251.34381.32811.32031.3242－＋－＋＋－－则x6=1.3242为方程根的近似值.例3证明方程在区间[0,1]内有一个根

8、,使用二分法求误差不大于的根,需二分多少次证所以f(x)在[0,1]上单调减少且连续。所以f(x)在[0,1]上有且只有一个根.使用二分法时，误差限所以需二分14次即可.例不能求出所有根,(即有可能漏根)。例如图该点可求出,改进的方法：但漏掉了四个点2.不能用于