概率论与数理统计215随机变量函数的分布

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1、第2章随机变量及其分布第五节随机变量的函数的分布问题的提出离散型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布小结布置作业一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.求截面面积A=的分布.比如，已知圆轴截面直径d的分布，在比如，已知t=t0时刻噪声电压V的分布，求功率W=V2/R(R为电阻）的分布等.设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？下面进行讨论.这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.二、离散型随机变量函数的分布解：当X取值1，2，5时，Y取对应值5，7，13，而且X取某值与Y取其对应值是两个同时

2、发生的事件，两者具有相同的概率.例1设X求Y=2X+3的概率函数.～0.20.50.3pk125X故Y～0.20.50.3pk5713X如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般地，若X是离散型r.v，X的分布律为则Y=g(X)Xx1x2···xnpkP1p2···pn～p1p2···pnpkg(x1)g(x2)···g(xn)X则Y=X2的分布律为：X-101pk0.30.60.1Y01pk0.60.4三、连续型随机变量函数的分布解设Y的分布函数为FY(y)，例2设X~求Y=2X+8的概率密度.FY(y)=P{Yy}=P{2X+8y}=P{X}=F

3、X()于是Y的密度函数故注意到00时,注意到Y=X20，故当y0时，.解设Y和X的分布函数分别为和，则Y=X2的概率密度为：求导可得若从上述两例中可以看到，在求P{Y≤y}的过程中，关键的一步是设法从{g(X)≤y}中解出X,从而得到与{g(X)≤y}等价的X的不等式.例如，用代替{2X+8≤y}{X}用代替{X2≤y}这样做是为了利用已知的X的分布，从而求出相应的概率.这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.例4设随机变量X的概率密度为求Y=sinX的概率密度.当y0时

4、,当y1时,当时故解注意到,解当01,G(y)=1;对y<0,G(y)=0;由于对0≤y≤1,G(y)=P{Y≤y}=P{F(X)≤y}=P{X≤(y)}=F((y))=y即Y的分布函数是求导得Y的密度函数可见,Y在[0,1]上

5、服从的均匀分布.本例的结论可应用在在计算机模拟中下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度.其中，x=h(y)是y=g(x)的反函数.定理设X是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x,恒有或恒有，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为此定理的证明与前面的解题思路类似解例7设随机变量服从正态分布，证明也服从正态分布.四、小结对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件{g(X)≤y}转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用X的分布来求P{g(X)

6、≤y}.这一节我们介绍了随机变量函数的分布.布置作业习题2-55678