预期效用函数于均方偏好

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1、第二讲预期效用函数与均方偏好对外经济贸易大学金融学院郭敏教授minguo992002@yahoo.com.cn8/5/20211一、二元关系(binaryrelations)与偏好关系（preferencerelationship）二元关系(binaryrelations)一个集合上的二元关系是确定这个集合中两元素之间的一种联系。有的二元关系所涉及的两个元素有相同的性质，有的二元关系所涉及的两个元素则属于不同性质的集合。有的二元关系满足一定的性质，如完全性、传递性、自反性、（非）对称性。我们主要考虑前三者。8/5/20212二元关系(binaryrelat

2、ions)定义集合X,元素x，y，z。如果二元关系满足；对于任意xX,有xx,则称具有自反性如果二元关系满足；对于任意x,yX,要么xy,yx,则称具有完全性。如果二元关系满足；对于任意x,y,zX,xy,yz,意味着xz,则称具有传递性。8/5/20213定义:是指具有传递性、完全性、自反性的一个二元关系。偏好关系的一般表示是对于x,yX,有xy，但有以下两种特殊偏好关系：给定偏好关系，称x与y是无差别的，如果xy，yx。记为xy称x严格偏好y，如果xy，但yx不成立。记作：x>y偏好关系(preferencer

3、elationship)8/5/20214三、期望效用函数——不确定性下的投资决策选择给定偏好关系虽然可以用效用函数来表示，但是当可能状态数目非常巨大时，证券组合是一个高维的向量或随机变量,为此，我们对效用函数进一步限制，经常用一类更为特殊的、性质更好的效用函数——期望效用函数。8/5/20215（一）不确定性下的选择问题与对象不确定性下的选择问题是其预期效用最大化的决定，这不仅决定自己行动的选择，也取决于自然状态本身的选择或随机变化。因此不确定下的选择对象被人们称为彩票（Lottery)或未定商品（contingentcommodity)8/5/2021

4、6假设投资者的证券组合收益变量的概率分布定义在有限集合L上，投资者的证券组合选择也可看成抽彩（lottery）（或者投资者的消费计划，或者投资收益），L中的元素为所有可能各种奖金数额，不妨设L={l1，…，ln}，得到奖品的li的概率为p(li)，i=1，2..n.(l1，p1；…；ln,，pn)表示一次性抽彩pP。8/5/20217复赌（复合抽彩“acompoundlottery”）:显然一次性抽彩或复合抽彩涉及不确定性利益8/5/20218公理：不确定性利益是某些随机变量所构成的一个集合L，并且对于任何两个不确定性利益a,b来说，以概率p得a，以概率

5、（1－p)得b也是不确定性利益，这个不确定性利益可称为a以概率p与b的平均，记为（a,b;p).8/5/20219（二）期望效用函数（expectedutilityfunction）——不确定性下的投资决策原则VNM预期效用函数：在不确定性下，证券收益都是随机变量，在所涉及的随机变量集合L上直接定义效用函数u:LR，使得不确定性利益a比不确定性利益b好等价于u(a)>u(b),并且对于任何不确定性利益a与b，a以概率p与b的平均(a,b；p),满足：u((a,b;p))=pu(a)+(1-p)u(b)8/5/202110其含义是一种“未定商品”的效用就等于

6、该“未定商品”所涉及的“确定商品”效用的均值。所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望。用它来判断有风险的利益就是比较“钱的函数的数学期望”（“而不是钱的数学期望”）。8/5/202111如果偏好可以用期望效用函数来表示，那么它明确的表示了不同状态的概率分布如何影响消费计划的总效用。偏好中的概率以及消费本身的个人喜好明确分离，前者是外生的，后者是因人而异的。8/5/202112期望效用函数的时间可加性或时间分离性效用函数把影响偏好的三个因素完全分开：每一消费路径发生的概率P消费

7、的时间性由消费得到的效用本身u8/5/202113期望效用函数的提出者——VNM效用函数（上）JohnvonNeumann(1903-1957)（下）OskarMorgenstern(1902-1977)1944年在巨著《对策论与经济行为》中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险8/5/202114（三）期望效用函数的公理化陈述VNM期望效用函数存在定理:定义在L上的偏好关系，若它满足如下公理，则该偏好关系可以用vonNeumannandMorgenstern期望效用函数：u((a,b;p))=pu(a)+(1-p)u(b)表示，

8、并且期望效用函数是唯一的。8/5/202115公理1（序假设）二元