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1、多元微积分高等院校非数学类本科数学课程第七节高阶偏导数多元函数的高阶导数与一元函数的情形在区域内,函数z=f(x,y)的偏导数仍是变量x,y的多元函数,如果偏导数仍可偏导,则它们的偏导数就是原来函数的二阶偏导数.依此类推,可定义多元函数的更高阶的导数.类似,一般说来,一般地,若函数f(X)的m－1阶偏导数仍可偏导,则称其偏导数为原来函数的m阶偏导数.二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数,其中,关于不同变量的高阶导数,称为混合偏导数.例1高阶偏导数还可使用下列记号二元函数的二阶偏导数共22=4项例2例2例2例2共23=8项.并
2、发现求高阶导数与求导顺序有关.例3求的二阶偏导数.解先求一阶偏导数：再求二阶偏导数：观察求的二阶偏导数.解二阶混合偏导数：发现两个混合偏导数相等一般性？这里的两个混合偏导数均连续例3例4设求解需按定义求函数在点(0,0)处的偏导数:00不相等这说明只有在一定的条件下求函数的高阶偏导数才与求导顺序无关.想想应是什么条件？定理若的二阶混合偏导数在内存在且在点处连续,则必有废话!求出偏导数才能判断连续性,这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了,还要定理干什么.有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续.懂吗！证令则由二阶混合偏导
3、数的连续性,可知函数在连续,可导,由拉格朗日中值定理得即关于变量y再运用拉格朗日中值定理,得同理,令则先关于变量y再关于变量x运用拉格朗日中值定理,得故由二阶混合偏导数连续性,取极限后,即得定理的结论.该定理的结论可推广到更高阶的混合偏导数的情形.现在问你,证明定理时为什么会想到用？看图课后再想是依次将一个变量看成常数求导.引入记号：在内有直到k阶的连续偏导数,记为时,则在求n阶及n阶以下的偏导数时,可大大减少运算次数.自变量二元函数的n阶偏导数就有2n项,当的个数越多,求导与求导顺序无关的作用越明显.例5求的二阶偏导数.解例6
4、设其中,求解例7设且求解例8验证函数满足偏微分方程解这是一维传热方程的基本解.比较后,得例9解这是求隐函数的高阶偏导数.请自己计算例10利用变量代换将方程化为关于变量的方程.解令即同理可得将上述偏导数带入原方程,得到例11设将二维拉普拉斯方程表示为极坐标形式.解我们选择一种复合方式进行运算,另外的一种方式同学们课余可试一下.极坐标系：例11设将二维拉普拉斯方程表示为极坐标形式.解极坐标系：分别对上式两边关于x和y求导,得到方程组和解方程组得,,,将的表达式代入,计算后得类似可求出综上所述,拉普拉斯方程的极坐标形式为通常称为二维拉
5、普拉斯算子,为三维拉普拉斯算子.利用算子可以方便地表示高阶微分泰勒公式高阶微分若则它的全微分存在,且高阶微分若则它的全微分存在,且若则故的全微分存在,称为f的二阶微分,记为u=f(x,y)的二阶全微分表达式由再求全微分可得：即引进算符运算记号：则一般地一般地,若则f有直到k阶的微分:111211331…………系数：例12设求解而故此题也可先求du,再由d(du)求d2u.课后不妨一试.例13设求解又故泰勒公式与求多元函数的偏导数的方法类似,我们想借助一元函数的泰勒公式来建立多元函数的泰勒公式.首先,将一元函数的泰勒公式写成微分形
6、式(x为自变量)：x为自变量时运用点函数进行推广定理(多元函数的泰勒公式)在中,设则在内有其中,称为拉格朗日余项.该公式称为多元函数泰勒公式的微分形式由多元函数高阶微分式：多元函数的泰勒公式可写成一般形式：令则于是由一元函数的泰勒公式再按多元函数的求导法则求出各阶导数值,即可得到多元函数的泰勒公式.取X0=0,泰勒公式即为马克劳林公式.例15证明：设若则在内证一阶泰勒公式,在内即取m=0由已知条件及X0的任意性,立即可得
