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上机教学四函数的极值与优化

'上机教学四函数的极值与优化'
《高等数学》 —上机教学(四) 函数的极值与优化上机目的 1、会使用Matlab求函数的极值; 2、会使用Matlab解决无约束最优化问题.上机内容 1、 Matlab中函数的输入与调用; 2、函数极值的求法; 3、无约束最优化问题. 上机软件 MATLAB 第一节 Matlab中函数的输入与调用 一、自变量为数量形式的函数的输入在Matlab中,函数是采用M文件的方式存储的。具体步骤如下: 1、新建一个M文件:通过点击主窗口左上的新建按钮。 2、输入函数内容: 例:函数 f(x1,x2)=exp(X1^2+X2) 应在M文件中输入如下:注意:(1)、函数标识关键字:function(2)、函数名:f1=f1 自变量: (x1,x2) (3)、函数表达式:a=exp(x1^2+x2) 函数表达式可以由多个式子组成。(4)、给函数结果赋值:f1=a 3、存储函数:点击编辑窗口的保存按钮。 注意:不要改变保存路径,文件名称必须和函数名称一致。4、函数的调用: 函数保存后,在命令窗口中即可调用该函数。 如求上述函数在x1=1,x2=2处的函数值,即可在命令窗口中输入:f1(1,2) 其中 f1 为刚才所输入的函数名。二、自变量为向量形式函数的输入 例:函数f(x)=exp(x(1)^2+x(2)).其中x=(x(1),x(2)), 即x为一个二维向量。 此时的输入与调用方式与数量时不同。 1、输入:2、调用: 此时自变量为向量,调用格式为:f2([1,2]) 或 x=[1 2]; f2(x) 即,自变量需采用向量形式输入。3、实际运行结果如下:>> f2([1,2])ans = 20.0855>> x=[1,2];>> f2(x)ans = 20.0855 第二节 函数极值的求法一、一元函数极值的求法Matlab中,求一元函数极值的函数为 fminbnd 1、此函数最简输入格式为:x=fminbnd(f,a,b)含义为:求函数f在区间[a,b]上的最小值点(自变量值).2、对于最大值问题,需转化为最小值问题来处理。 ( -f(x)在区间[a,b]上的最小值就是f(x)在[a,b]的最大值) 3、常用格式[x,fval]=fminbnd(f,a,b). 结果中,fval为最小值,x为取到最小值的点。例:Matlab命令:[x,fval]=fminbnd('x.^2+3*x+1',-2,3)含义是:求函数f(x)=x^2+3*x+1在[-2,3]内的最小值。结果为x = -1.5000 fval = -1.2500注:此时函数很简单,故没有使用M文件。 二、多元函数极值的求法 多元函数的最小值问题,在Matlab中有2个经常使用的函数: 1、fminsearch 2、fminunc 注意: (1)、在使用这两个函数时,必须首先用M文件的形式存储待求最值的函数,并且需以向量函数的形式表达; ( 2)、最大值问题需转化为最小值问题。1、 fminsearch (1)、此函数使用单纯型法搜索最值;(2)、使用格式: [x,fval]= fminsearch(@f,x0) 其中f为待求最值的向量函数,x0为搜索过程开始时自变量的初始值。例:fminsearch(@f,[1,2]) 含义为:在x=[1,2]附近搜寻函数f的最小值。 例:求函数f(x,y)= -(x+y)+(x^2+y^2+1)在x=1,y=2 附近的最小值点。解决步骤: 1、建立M文件,保存函数f; M文件内容为: function f1=f1(x) a=-(x(1)+x(2)); b=(x(1)^2+x(2)^2+1); f1=a+b; 2、调用fminsearch函数求最值. 在命令窗口中,输入: x0=[1,2]; [x,fval]=fminsearch(@f1,x0) 3、输出结果为: X = 0.5000 0.5000 fval =0.5000 2、 fminunc(1)、此函数与fminsearch不同的地方在于使用的搜索方法不同,它使用牛顿法搜索最值,在效率上有所提高;(2)、使用格式与fminsearch类似: [x,fval]= fminunc(@f,x0) 其中f为待求最值的向量函数,x0为搜索过程开始时自变量的初始值。例:fminunc(@f,[1,2]) 含义为:在x=[1,2]附近搜寻函数f的最小值。 第三节 无约束最优化问题 求解无约束最优化问题的的基本思想 * Matlab优化工具箱简介 一、求解无约束最优化问题的基本思想 标准形式: min f ?X ? X?E n 其中 f : E n ? E1 max f ?X ? = min [? f ?X ?] X?E n X?E n 求解的基本思想 ( 以二元函数为例 ) ? ? x2 f (X 0 ) f (X1) f (X 2 ) f (x1 x2 ) 连 续 X 0 可 X 微 3 1 1 X 2 x 5 0 2x1 x 0 1 唯一极小 (全局极小) 2 2 f (x1 x2 ) ? 2x1 ?2x1x2 ? x2 ?3x1 ? x2 f ? 0f ? 0 .298 f ? 0 .298 多局部极小 最优点 (1 1) 搜索过程 min f (x x ) ?100(x ? x2 )2 ?(1? x )2 1 2 2 1 1 初始点 (-1 1) x1 x2 f -1 1 4.00 -0.79 0.58 3.39 -0.53 0.23 2.60 -0.18 0.00 1.50 0.09 -0.03 0.98 0.37 0.11 0.47 0.59 0.33 0.20 0.80 0.63 0.05 0.95 0.90 0.003 0.99 0.99 1E-4 0.999 0.998 1E-50.9997 0.9998 1E-8二、用Matlab解无约束优化问题(举例说明) 常用格式如下:(1)x= fminbnd (fun,x1,x2)(2)x= fminbnd (fun,x1,x2 ,options)(3)[x,fval]= fminbnd(...)(4)[x,fval,exitflag]= fminbnd(...)(5)[x,fval,exitflag,output]= fminbnd(...) 其中(3)、(4)、(5)的等式右边可选用(1)或(2)的等式右边。 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法,它要求目标函数必须是连续函数,并可能只给出局部最优解。 解 在matlab命令窗口中输入: f='2*exp(-x).*sin(x)'; fplot(f,[0,8]); %作图语句 [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8) f1='-2*exp(-x).*sin(x)'; [xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)运行结果: xmin = 3.9270 ymin = -0.0279 xmax = 0.7854 ymax = 0.6448例2 对边长为3米的正方形铁板,在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大?解 先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval 运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边 长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米. 2、多元函数无约束优化问题 标准型为:min F(X) 命令格式为:(1)x= fminunc(fun,X0 );或x=fminsearch(fun,X0 )(2)x= fminunc(fun,X0 ,options); 或x=fminsearch(fun,X0 ,options)(3)[x,fval]= fminunc(...); 或[x,fval]= fminsearch(...)(4)[x,fval,exitflag]= fminunc(...); 或[x,fval,exitflag]= fminsearch(5)[x,fval,exitflag,output]= fminunc(...); 或[x,fval,exitflag,output]= fminsearch(...)说明: ?fminsearch是用单纯形法寻优. fminunc的算法见以下几点说明:[1] fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中 的参数LargeScale控制: LargeScale=’on’(默认值),使用大型算法 LargeScale=’off’(默认值),使用中型算法[2] fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法,由 options中的参数HessUpdate控制: HessUpdate=’bfgs’(默认值),拟牛顿法的BFGS公式; HessUpdate=’dfp’,拟牛顿法的DFP公式; HessUpdate=’steepdesc’,最速下降法[3] fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法,由options中参数LineSearchType控制: LineSearchType=’quadcubic’(缺省值),混合的二次和三次多项式插值; LineSearchType=’cubicpoly’,三次多项式插 ?使用fminunc和 fminsearch可能会得到局部最优解. 2 2例3 min f(x)=(4x1 +2x2 +4x1x2+2x2+1)*exp(x1) 1、编写M-文件 fun1.m: function f = fun1 (x) f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2、输入命令窗口中输入: x0 = [-1, 1]; x=fminunc('fun1',x0); y=fun1(x) 3、运行结果: x= 0.5000 -1.0000 y = 1.3029e-10例4 产销量的最佳安排 某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号,讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量,使总利润最大. 所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量. 2、基本假设 (1).价格与销量成线性关系 利润既取决于销量和价格,也依赖于产量和成本。按照市场规律,甲的价格 p1 会随其销量 x1 的增长而降低,同时乙的销量 x2 的增长也会使甲的价格有稍微的下降,可以简单地假设价格与销量成线性关系,即: p1 = b1 - a11 x1 - a12 x2 ,b1,a11,a12 > 0,且 a11 > a12;同理, p2 = b2 - a21 x1- a22 x2 ,b2,a21,a22 > 0,且 a22 > a21 . (2).成本与产量成负指数关系 甲的成本随其产量的增长而降低,且有一个渐进值,可以假设为负指数关系,即: ?? 1x1 q1 ? r1e ? c1, r1,?1,c1 ? 0 ??同理, 2x2 q2 ? r2e ? c2 , r2 ,?2 ,c2 ? 0 3、模型建立 总利润为: z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2 若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20, r2=100,λ2=0.02,c2=30,则问题转化为无约束优化问题:求甲,乙两个牌号的产量x1,x2,使总利润z最大. 为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求: z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2 的极值. 显然其解为x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70, 我们把它作为原问题的初始值. 4、模型求解 (1). 建立M-文件fun.m: function f = fun(x) y1=((100-x(1)- 0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1); y2=((280-0.2*x(1)- 2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2); f=-y1-y2; (2). 输入命令: x0=[50,70]; x=fminunc('fun',x0), z=fun(x)(3). 计算结果: x=23.9025 62.4977 z=-6.4135e+003 即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5. 上机作业(四)1、求函数 f ( x ) ? x 2 ? 3 x ? 2 在区间[-10,10]内的最值? 2x2 ? 3x ? 42、求函数 f ( x ) ? 在区间[-1,3]内的最值? x2 ? 2x ? 23、某工厂要制作一个容积为100立方米的无盖长方体容器,问:怎样制作材料最省?4、要制作一表面积为108平米的水池,问:怎样选择长宽高,能使得容积最大?5、 梯子长度问题 (选作)一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.现清洁工只有一架7m长的梯子,你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少? 2009年6月《高等数学》 —上机教学(四) 函数的极值与优化上机目的 1、会使用Matlab求函数的极值; 2、会使用Matlab解决无约束最优化问题.上机内容 1、 Matlab中函数的输入与调用; 2、函数极值的求法; 3、无约束最优化问题. 上机软件 MATLAB 第一节 Matlab中函数的输入与调用 一、自变量为数量形式的函数的输入在Matlab中,函数是采用M文件的方式存储的。具体步骤如下: 1、新建一个M文件:通过点击主窗口左上的新建按钮。 2、输入函数内容: 例:函数 f(x1,x2)=exp(X1^2+X2) 应在M文件中输入如下:注意:(1)、函数标识关键字:function(2)、函数名:f1=f1 自变量: (x1,x2) (3)、函数表达式:a=exp(x1^2+x2) 函数表达式可以由多个式子组成。(4)、给函数结果赋值:f1=a 3、存储函数:点击编辑窗口的保存按钮。 注意:不要改变保存路径,文件名称必须和函数名称一致。4、函数的调用: 函数保存后,在命令窗口中即可调用该函数。 如求上述函数在x1=1,x2=2处的函数值,即可在命令窗口中输入:f1(1,2) 其中 f1 为刚才所输入的函数名。二、自变量为向量形式函数的输入 例:函数f(x)=exp(x(1)^2+x(2)).其中x=(x(1),x(2)), 即x为一个二维向量。 此时的输入与调用方式与数量时不同。 1、输入:2、调用: 此时自变量为向量,调用格式为:f2([1,2]) 或 x=[1 2]; f2(x) 即,自变量需采用向量形式输入。3、实际运行结果如下:>> f2([1,2])ans = 20.0855>> x=[1,2];>> f2(x)ans = 20.0855 第二节 函数极值的求法一、一元函数极值的求法Matlab中,求一元函数极值的函数为 fminbnd 1、此函数最简输入格式为:x=fminbnd(f,a,b)含义为:求函数f在区间[a,b]上的最小值点(自变量值).2、对于最大值问题,需转化为最小值问题来处理。 ( -f(x)在区间[a,b]上的最小值就是f(x)在[a,b]的最大值) 3、常用格式[x,fval]=fminbnd(f,a,b). 结果中,fval为最小值,x为取到最小值的点。例:Matlab命令:[x,fval]=fminbnd('x.^2+3*x+1',-2,3)含义是:求函数f(x)=x^2+3*x+1在[-2,3]内的最小值。结果为x = -1.5000 fval = -1.2500注:此时函数很简单,故没有使用M文件。 二、多元函数极值的求法 多元函数的最小值问题,在Matlab中有2个经常使用的函数: 1、fminsearch 2、fminunc 注意: (1)、在使用这两个函数时,必须首先用M文件的形式存储待求最值的函数,并且需以向量函数的形式表达; ( 2)、最大值问题需转化为最小值问题。1、 fminsearch (1)、此函数使用单纯型法搜索最值;(2)、使用格式: [x,fval]= fminsearch(@f,x0) 其中f为待求最值的向量函数,x0为搜索过程开始时自变量的初始值。例:fminsearch(@f,[1,2]) 含义为:在x=[1,2]附近搜寻函数f的最小值。 例:求函数f(x,y)= -(x+y)+(x^2+y^2+1)在x=1,y=2 附近的最小值点。解决步骤: 1、建立M文件,保存函数f; M文件内容为: function f1=f1(x) a=-(x(1)+x(2)); b=(x(1)^2+x(2)^2+1); f1=a+b; 2、调用fminsearch函数求最值. 在命令窗口中,输入: x0=[1,2]; [x,fval]=fminsearch(@f1,x0) 3、输出结果为: X = 0.5000 0.5000 fval =0.5000 2、 fminunc(1)、此函数与fminsearch不同的地方在于使用的搜索方法不同,它使用牛顿法搜索最值,在效率上有所提高;(2)、使用格式与fminsearch类似: [x,fval]= fminunc(@f,x0) 其中f为待求最值的向量函数,x0为搜索过程开始时自变量的初始值。例:fminunc(@f,[1,2]) 含义为:在x=[1,2]附近搜寻函数f的最小值。 第三节 无约束最优化问题 求解无约束最优化问题的的基本思想 * Matlab优化工具箱简介 一、求解无约束最优化问题的基本思想 标准形式: min f ?X ? X?E n 其中 f : E n ? E1 max f ?X ? = min [? f ?X ?] X?E n X?E n 求解的基本思想 ( 以二元函数为例 ) ? ? x2 f (X 0 ) f (X1) f (X 2 ) f (x1 x2 ) 连 续 X 0 可 X 微 3 1 1 X 2 x 5 0 2x1 x 0 1 唯一极小 (全局极小) 2 2 f (x1 x2 ) ? 2x1 ?2x1x2 ? x2 ?3x1 ? x2 f ? 0f ? 0 .298 f ? 0 .298 多局部极小 最优点 (1 1) 搜索过程 min f (x x ) ?100(x ? x2 )2 ?(1? x )2 1 2 2 1 1 初始点 (-1 1) x1 x2 f -1 1 4.00 -0.79 0.58 3.39 -0.53 0.23 2.60 -0.18 0.00 1.50 0.09 -0.03 0.98 0.37 0.11 0.47 0.59 0.33 0.20 0.80 0.63 0.05 0.95 0.90 0.003 0.99 0.99 1E-4 0.999 0.998 1E-50.9997 0.9998 1E-8二、用Matlab解无约束优化问题(举例说明) 常用格式如下:(1)x= fminbnd (fun,x1,x2)(2)x= fminbnd (fun,x1,x2 ,options)(3)[x,fval]= fminbnd(...)(4)[x,fval,exitflag]= fminbnd(...)(5)[x,fval,exitflag,output]= fminbnd(...) 其中(3)、(4)、(5)的等式右边可选用(1)或(2)的等式右边。 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法,它要求目标函数必须是连续函数,并可能只给出局部最优解。 解 在matlab命令窗口中输入: f='2*exp(-x).*sin(x)'; fplot(f,[0,8]); %作图语句 [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8) f1='-2*exp(-x).*sin(x)'; [xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)运行结果: xmin = 3.9270 ymin = -0.0279 xmax = 0.7854 ymax = 0.6448例2 对边长为3米的正方形铁板,在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大?解 先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval 运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边 长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米. 2、多元函数无约束优化问题 标准型为:min F(X) 命令格式为:(1)x= fminunc(fun,X0 );或x=fminsearch(fun,X0 )(2)x= fminunc(fun,X0 ,options); 或x=fminsearch(fun,X0 ,options)(3)[x,fval]= fminunc(...); 或[x,fval]= fminsearch(...)(4)[x,fval,exitflag]= fminunc(...); 或[x,fval,exitflag]= fminsearch(5)[x,fval,exitflag,output]= fminunc(...); 或[x,fval,exitflag,output]= fminsearch(...)说明: ?fminsearch是用单纯形法寻优. fminunc的算法见以下几点说明:[1] fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中 的参数LargeScale控制: LargeScale=’on’(默认值),使用大型算法 LargeScale=’off’(默认值),使用中型算法[2] fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法,由 options中的参数HessUpdate控制: HessUpdate=’bfgs’(默认值),拟牛顿法的BFGS公式; HessUpdate=’dfp’,拟牛顿法的DFP公式; HessUpdate=’steepdesc’,最速下降法[3] fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法,由options中参数LineSearchType控制: LineSearchType=’quadcubic’(缺省值),混合的二次和三次多项式插值; LineSearchType=’cubicpoly’,三次多项式插 ?使用fminunc和 fminsearch可能会得到局部最优解. 2 2例3 min f(x)=(4x1 +2x2 +4x1x2+2x2+1)*exp(x1) 1、编写M-文件 fun1.m: function f = fun1 (x) f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2、输入命令窗口中输入: x0 = [-1, 1]; x=fminunc('fun1',x0); y=fun1(x) 3、运行结果: x= 0.5000 -1.0000 y = 1.3029e-10例4 产销量的最佳安排 某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号,讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量,使总利润最大. 所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量. 2、基本假设 (1).价格与销量成线性关系 利润既取决于销量和价格,也依赖于产量和成本。按照市场规律,甲的价格 p1 会随其销量 x1 的增长而降低,同时乙的销量 x2 的增长也会使甲的价格有稍微的下降,可以简单地假设价格与销量成线性关系,即: p1 = b1 - a11 x1 - a12 x2 ,b1,a11,a12 > 0,且 a11 > a12;同理, p2 = b2 - a21 x1- a22 x2 ,b2,a21,a22 > 0,且 a22 > a21 . (2).成本与产量成负指数关系 甲的成本随其产量的增长而降低,且有一个渐进值,可以假设为负指数关系,即: ?? 1x1 q1 ? r1e ? c1, r1,?1,c1 ? 0 ??同理, 2x2 q2 ? r2e ? c2 , r2 ,?2 ,c2 ? 0 3、模型建立 总利润为: z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2 若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20, r2=100,λ2=0.02,c2=30,则问题转化为无约
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