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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第二十讲不定积分及其计算第六章函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿—莱布尼兹公式.理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲
2、面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。回顾:微分学的基本问题是“已知一个函数,如何求它的导数.”积分学包括两个基本部分:不定积分和定积分.先研究不定积分的概念、性质和基本积分方法.那么,如果已知一个函数的导数,要求原来的函数,这类问题,是微分法的逆问题.这就产生了积分学.第六章函数的积分第三节不定积分问题:若已知某一函数的导数为ƒ(x),求这个函数.则称F(x)是已知函数ƒ(x)在该区间I上的一个原函数.一.原函数的定义定义设ƒ(x)定义在区间I上,若存在函数F(x),使得对有例因为，所以因为所以
3、F(x)定理1若函数ƒ(x)在区间I上连续,则ƒ(x)在区间I上的原函数一定存在.简言之：连续函数一定有原函数.(证明略)原函数存在性定理:定理设F(x)是函数ƒ(x)在区间I上的一个原函数,则对任何常数C,F(x)+C也是函数ƒ(x)的原函数.证因为问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？所以F(x)+C也是函数ƒ(x)的原函数.定理设F(x)和G(x)都是函数ƒ(x)的原函数,则F(x)–G(x)≡C(常数)证由拉格朗日定理知由此可见:若F(x)是ƒ(x)的一个原函数,则表达式F(x)+C可表示ƒ(x)的所有原函数。定义一.不定积分的概念任意常数积分
4、号被积函数被积表达式积分变量每一个求导公式,反过来就是一个求原函数的公式,加上积分常数C就成为一个求不定积分的公式.不定积分的几何意义而是ƒ(x)的原函数一般表达式,所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族,其特点是:(1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y=F(x))沿y轴平行移动
5、c
6、个单位而得到.(如图)当c>0时,向上移动;当c<0时,向下移动.oxyxy=F(x){
7、c
8、oxyxy=F(x)(2)即横坐标相同点处,每条积分曲线上相应点的切线斜率相等,都为ƒ(x).从而相应点的切线相互平行.注:当需要从积分曲线族中求出过点的一条积分曲线时,则只须把代
9、入y=F(x)+C中解出C即可.例已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且过点求此曲线方程.解设所求曲线为y=ƒ(x),则故所求曲线为y=ln
10、x
11、+2二.不定积分的计算利用不定积分的性质换元法(第一、第二)分部积分法部分分式法1.利用性质计算不定积分首先介绍不定积分的基本性质.性质1性质2基本积分表以上积分公式是求不定积分的基础,必须记牢！例1解例2解绝对值例3解利用加一项、减一项的方法.例4解?利用加一项、减一项的方法.例5解部分分式法例6解例6解例7解想想它是谁的导数？怎么做？利用平方差公式例8解例9解能利用直接积分法求出的不定积分是很有限的.一.凑微分
12、法(第一类换元法)例计算分析：此不定积分在积分表中查不到.换元积分法为了求出更多函数的不定积分,下面学习一些有效的积分法.这是因为被积函数cos2x的变量是“2x”,与积分变量“x”不同.但如果能把被积表达式改变一下,使得被积函数的变量与积分变量变得相同,那么就可用公式求出此不定积分.(u是x的函数)注:这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d()使原积分变成可直接用积分公式来计算.这种方法称为凑微分法.其理论依据为定理证利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可.注1.定理中,若u为自变量时,当然有当u换为(x)时,就有成立.
13、——不定积分的这一性质称为积分形式的不变性.注2.凑微分法的关键是“凑”,凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同.即成立.(1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则,把dx凑成d(x).如(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x).如“凑微分”的方法有:以下常见的凑微分公式！例10解例11解例12解例13解例14解例15解例16解例17解例18解例19解例20解例21解例22解作业P217-2183(1)—(7)
