不定积分的概念(I)

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1、第四章不定积分4.1不定积分的概念与性质教学目标:1、理解原函数和不定积分的概念2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式教学重点：综合运用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分。§4.1不定积分的概念一、不定积分的概念二、不定积分的性质三、直接积分法早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累积计算的重要性，随着生产的发展，这类问题不断有人提出，如求某块平面图形的面积，某条定曲线的长度等等．其中某些问题甚至得到了解决．例如，阿基米得(Archimedes)、开普勒(Kepler)、卡瓦列里(Cavaliere)都在具

2、体问题中得到了后来用积分计算得到的相同结果．费马(Fermat)与巴洛(Barrow)已初步意识到某些问题与微分之间存在互逆关系．但当时并没有一般地引入积分概念，他们的方法也不具有普遍意义．直到十七世纪，牛顿和莱布尼兹各自独立地看到了积分问题是微分问题的逆问题，并从微分逆运算的角度提了简洁的一般解决办法．前言例一、不定积分的概念定义4.1P99问题：(1)在什么条件下，一个函数的原函数存在？如果存在，是否唯一？(2)在已知某函数的原函数存在，怎样将这个原函数求出来。定理4.1（原函数存在定理）即连续函数一定有原函数

3、！初等函数在其定义区间内一定有原函数。P99定理4.2例P99任意常数积分号被积函数(不定积分的定义)被积表达式积分变量定义4.2P100例1因为sinx是cosx的原函数,所以如果F(x)是f(x)的一个原函数,则如果F(x)是f(x)的一个原函数,则例2不定积分的几何意义：.函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率.P100不定积分的几何意义2x的积分曲线通常把函数f(x)的原函数y=F(x)的图形叫做f(x)的一条积分曲线。那么f(x)的所有积分曲线构成的曲线族y=F(x

4、)+C称为f(x)的积分曲线族.设通过点(1,3),且其切线斜率为2X的曲线方程.练习P103.2例3P103--2§4.1.2不定积分的性质一、不定积分的性质二、基本积分公式由不定积分的定义，可知，或，或性质4.1：P101一、不定积分的性质性质4.2：性质4.3性质4.44.1.3直接积分法P101例5例4例6堂上练习:堂上练习:P102例5P102例6P102--例7P102--例8tanxxC.P102--例9补充例