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【数学】1.3.2《函数的极值与导数》课件(人教A版选修2-2)

'【数学】1.3.2《函数的极值与导数》课件(人教A版选修2-2)'
例1:求参数的范围若函数f(x)? ax3 - x2 ? x -5在(-?,+?)上单调递增,求a的取值范围 练习2 已知函数f(x)=2ax - x 3,x ?(0,1],a ? 0, 若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围。 3 [ , ? ? ) 21.3.2函数的极值与导数定义 y ?x ? 0 一般地, 设函数 f ?(a) ? 0 f (x) 在点x0附近有 f ?(a ? ?x) ? 0 f ?(a ? ?x) ? 0 定义 如果对 附近 , x0 f ?(b ? ?x) ? 0 的所有的点, 都有 f ?(b ? ?x) ? 0 -2 -1 1 2 3 ? ?4 5 6 7 f (x) ? f (x ) f (b) 0 x 0 O a b 我们就说 f (x0)是 f (x) 的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点. 反之 若 则称 是 的一个极小 , f ( x ) ? f ( x 0 ) , f (x0) f (x) 值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值 统称为极值. y f (x3 ) f (x4 ) f (x1 ) f(x2) O x a x1 x2 x3 x4 b 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.(1)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值(2)极大值不一定比极小值大(3)可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该 点的导数为0 例:y=x3练习1 下图是导函数 y ? f ? ( x ) 的图象, 试找出函数 y ? f ( x ) 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. y y ? f ?(x) x2 x3 x x a x1 O 4 x5 x6 b 1 3例1 求函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 解 3 : 1 2 因为 f ( x ) ? x 3 ? 4 x ? 4 , 所以 f ?(x) ? x ? 4. 3 令 f ? ( x ) ? 0 , 解得 x ? 2 , 或 x ? ?2. 当 f ? ( x ) ? 0 , 即 x ? 2 , 或 x ? ? 2 ; 当 f ? ( x ) ? 0 , 即 ? 2 ? x ? 2 . 当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表: x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞) f ?(x) + 0 – 0 + f (x) 单调递增 28/ 3 单调递减 ? 4 / 3 单调递增 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .求解函数极值的一般步骤:(1)确定函数的定义域(2)求方程f’(x)=0的根(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格(4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况练习2求下列函数的极值: (1) f (x) ? 6x2 ? x ? 2; (2) f (x) ? x3 ? 27x; (3) f (x) ? 6 ?12x ? x3; (4) f (x) ? 3x ? x3.解 : 1 (1) f ?(x) ?12x ?1, 令 f ? ( x ) ? 0 , 解得 x ? . 列表: 12 1 1 1 x (??, ) ( ,??) 12 12 12 f ?(x) – 0 + 49 f (x) 单调递减 ? 单调递增 24 1 1 49 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 12 24练习2求下列函数的极值: (1) f (x) ? 6x2 ? x ? 2; (2) f (x) ? x3 ? 27x; (3) f (x) ? 6 ?12x ? x3; (4) f (x) ? 3x ? x3.解: 2 解得 列表 (2) 令f ?(x) ? 3x ? 27 ? 0, x 1 ? 3 , x 2 ? ? 3 . : x (–∞, –3) –3 (–3, 3) 3 ( 3, +∞) f ?(x) + 0 – 0 + f (x) 单调递增 54 单调递减 ? 54 单调递增 所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .练习2求下列函数的极值: (1) f (x) ? 6x2 ? x ? 2; (2) f (x) ? x3 ? 27x; (3) f (x) ? 6 ?12x ? x3; (4) f (x) ? 3x ? x3. 解: 2 (3) 令f ?(x) ?12 ? 3x ? 0, 解得 x 1 ? 2 , x 2 ? ? 2 . 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 . 2 解得 (4) 令f ?(x) ? 3? 3x ? 0, x 1 ? 1 , x 2 ? ? 1 . 所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .习题 A组 #4下图是导函数 y ? f ? ( x ) 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处(1)导函数 y ? f ? ( x ) 有极大值? x ? x2(2)导函数 y ? f ? ( x ) 有极小值? 或 x ? x1 x ? x4(3)函数 y ? f ( x ) 有极大值? x ? x3(4)函数 y ? f ( x ) 有极小值? x ? x5例1:求参数的范围若函数f(x)? ax3 - x2 ? x -5在(-?,+?)上单调递增,求a的取值范围 练习2 已知函数f(x)=2ax - x 3,x ?(0,1],a ? 0, 若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围。 3 [ , ? ? ) 21.3.2函数的极值与导数定义 y ?x ? 0 一般地, 设函数 f ?(a) ? 0 f (x) 在点x0附近有 f ?(a ? ?x) ? 0 f ?(a ? ?x) ? 0 定义 如果对 附近 , x0 f ?(b ? ?x) ? 0 的所有的点, 都有 f ?(b ? ?x) ? 0 -2 -1 1 2 3 ? ?4 5 6 7 f (x) ? f (x ) f (b) 0 x 0 O a b 我们就说 f (x0)是 f (x) 的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点. 反之 若 则称 是 的一个极小 , f ( x ) ? f ( x 0 ) , f (x0) f (x) 值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值 统称为极值. y f (x3 ) f (x4 ) f (x1 ) f(x2) O x a x1 x2 x3 x4 b 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.(1)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值(2)极大值不一定比极小值大(3)可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该 点的导数为0 例:y=x3练习1 下图是导函数 y ? f ? ( x ) 的图象, 试找出函数 y ? f ( x ) 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. y y ? f ?(x) x2 x3 x x a x1 O 4 x5 x6 b 1 3例1 求函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 解 3 : 1 2 因为 f ( x ) ? x 3 ? 4 x ? 4 , 所以 f ?(x) ? x ? 4. 3 令 f ? ( x ) ? 0 , 解得 x ? 2 , 或 x ? ?2. 当 f ? ( x ) ? 0 , 即 x ? 2 , 或 x ? ? 2 ; 当 f ? ( x ) ? 0 , 即 ? 2 ? x ? 2 . 当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表: x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞) f ?(x) + 0 – 0 + f (x) 单调递增 28/ 3 单调递减 ? 4 / 3 单调递增 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .求解函数极值的一般步骤:(1)确定函数的定义域(2)求方程f’(x)=0的根(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格(4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况练习2求下列函数的极值: (1) f (x) ? 6x2 ? x ? 2; (2) f (x) ? x3 ? 27x; (3) f (x) ? 6 ?12x ? x3; (4) f (x) ? 3x ? x3.解 : 1 (1) f ?(x) ?12x ?1, 令 f ? ( x ) ? 0 , 解得 x ? . 列表: 12 1 1 1 x (??, ) ( ,??) 12 12 12 f ?(x) – 0 + 49 f (x) 单调递减 ? 单调递增 24 1 1 49 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 12 24练习2求下列函数的极值: (1) f (x) ? 6x2 ? x ? 2; (2) f (x) ? x3 ? 27x; (3) f (x) ? 6 ?12x ? x3; (4) f (x) ? 3x ? x3.解: 2 解得 列表 (2) 令f ?(x) ? 3x ? 27 ? 0, x 1 ? 3 , x 2 ? ? 3 . : x (–∞, –3) –3 (–3, 3) 3 ( 3, +∞) f ?(x) + 0 – 0 + f (x) 单调递增 54 单调递减 ? 54 单调递增 所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .练习2求下列函数的极值: (1) f (x) ? 6x2 ? x ? 2; (2) f (x) ? x3 ? 27x; (3) f (x) ? 6 ?12x ? x3; (4) f (x) ? 3x ? x3. 解: 2 (3) 令f ?(x) ?12 ? 3x ? 0, 解得 x 1 ? 2 , x 2 ? ? 2 . 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 . 2 解得 (4) 令f ?(x) ? 3? 3x ? 0, x 1 ? 1 , x 2 ? ? 1 . 所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .习题 A组 #4下图是导函数 y ? f ? ( x ) 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处(1)导函数 y ? f ? ( x ) 有极大值? x ? x2(2)导函数 y ? f ? ( x ) 有极小值? 或 x ? x1 x ? x4(3)函数 y ? f ( x ) 有极大值? x ? x3(4)函数 y ? f ( x ) 有极小值? x ? x5例1:求参数的范围若函数f(x)? ax3 - x2 ? x -5在(-?,+?)上单调递增,求a的取值范围 练习2 已知函数f(x)=2ax - x 3,x ?(0,1],a ? 0, 若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围。 3 [ , ? ? ) 21.3.2函数的极值与导数定义 y ?x ? 0 一般地, 设函数 f ?(a) ? 0 f (x) 在点x0附近有 f ?(a ? ?x) ? 0 f ?(a ? ?x) ? 0 定义 如果对 附近 , x0 f ?(b ? ?x) ? 0 的所有的点, 都有 f ?(b ? ?x) ? 0 -2 -1 1 2 3 ? ?4 5 6 7 f (x) ? f (x ) f (b) 0 x 0 O a b 我们就说 f (x0)是 f (x) 的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点. 反之 若 则称 是 的一个极小 , f ( x ) ? f ( x 0 ) , f (x0) f (x) 值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值 统称为极值. y f (x3 ) f (x4 ) f (x1 ) f(x2) O x a x1 x2 x3 x4 b 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.(1)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值(2)极大值不一定比极小值大(3)可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该 点的导数为0 例:y=x3练习1 下图是导函数 y ? f ? ( x ) 的图象, 试找出函数 y ? f ( x ) 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. y y ? f ?(x) x2 x3 x x a x1 O 4 x5 x6 b 1 3例1 求函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 解 3 : 1 2 因为 f ( x ) ? x 3 ? 4 x ? 4 , 所以 f ?(x) ? x ? 4. 3 令 f ? ( x ) ? 0 , 解得 x ? 2 , 或 x ? ?2. 当 f ? ( x ) ? 0 , 即 x ? 2 , 或 x ? ? 2 ; 当 f ? ( x ) ? 0 , 即 ? 2 ? x ? 2 . 当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表: x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞) f ?(x) + 0 – 0 + f (x) 单调递增 28/ 3 单调递减 ? 4 / 3 单调递增 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .求解函数极值的一般步骤:(1)确定函数的定义域(2)求方程f’(x)=0的根(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格(4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况练习2求下列函数的极值: (1) f (x) ? 6x2 ? x ? 2; (2) f (x) ? x3 ? 27x; (3) f (x) ? 6 ?12x ? x3; (4) f (x) ? 3x ? x3.解 : 1 (1) f ?(x) ?12x ?1, 令 f ? ( x ) ? 0 , 解得 x ? . 列表: 12 1 1 1 x (??, ) ( ,??) 12 12 12 f ?(x) – 0 + 49 f (x) 单调递减 ? 单调递增 24 1 1 49 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 12 24练习2求下列函数的极值: (1) f (x) ? 6x2 ? x ? 2; (2) f (x) ? x3 ? 27x; (3) f (x) ? 6 ?12x ? x3; (4) f (x) ? 3x ? x3.解: 2 解得 列表 (2) 令f ?(x) ? 3x ? 27 ? 0, x 1 ? 3 , x 2 ? ? 3 . : x (–∞, –3) –3 (–3, 3) 3 ( 3, +∞) f ?(x) + 0 – 0 + f (x) 单调递增 54 单调递减 ? 54 单调递增 所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .练习2求下列函数的极值: (1) f (x) ? 6x2 ? x ? 2; (2) f (x) ? x3 ? 27x; (3) f (x) ? 6 ?12x ? x3; (4) f (x) ? 3x ? x3. 解: 2 (3) 令f ?(x) ?12 ? 3x ? 0, 解得 x 1 ? 2 , x 2 ? ? 2 . 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 . 2 解得 (4) 令f ?(x) ? 3? 3x ? 0, x 1 ? 1 , x 2 ? ? 1 . 所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .习题 A组 #4下图是导函数 y ? f ? ( x ) 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处(1)导函数 y ? f ? ( x ) 有极大值? x ? x2(2)导函数 y ? f ? ( x ) 有极小值? 或 x ? x1 x ? x4(3)函数 y ? f ( x ) 有极大值? x ? x3(4)函数 y ? f ( x ) 有极小值? x ? x5例1:求参数的范围若函数f(x)? ax3 - x2 ? x -5在(-?,+?)上单调递增,求a的取值范围 练习2 已知函数f(x)=2ax - x 3,x ?(0,1],a ? 0, 若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围。 3 [ , ? ? ) 21.3.2函数的极值与导数定义 y ?x ? 0 一般地, 设函数 f ?(a) ? 0 f (x) 在点x0附近有 f ?(a ? ?x) ? 0 f ?(a ? ?x) ? 0 定义 如果对 附近 , x0 f ?(b ? ?x) ? 0 的所有的点, 都有 f ?(b ? ?x) ? 0 -2 -1 1 2 3 ? ?4 5 6 7 f (x) ? f (x ) f (b) 0 x 0 O a b 我们就说 f (x0)是 f (x) 的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点. 反之 若 则称 是 的一个极小 , f ( x ) ? f ( x 0 ) , f (x0) f (x) 值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值 统称为极值. y f (x3 ) f (x4 ) f (x1 ) f(x2) O x a x1 x2 x3 x4 b 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.(1)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值(2)极大值不一定比极小值大(3)可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该 点的导数为0 例:y=x3练习1 下图是导函数 y ? f ? ( x ) 的图象, 试找出函数 y ? f ( x ) 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. y y ? f ?(x) x2 x3 x x a x1 O 4 x5 x6 b 1 3例1 求函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 解 3 : 1 2 因为 f ( x ) ? x 3 ? 4 x ? 4 , 所以 f ?(x) ? x ? 4. 3 令 f ? ( x ) ? 0 , 解得 x ? 2 , 或 x ? ?2. 当 f ? ( x ) ? 0 , 即 x ? 2 , 或 x ? ? 2 ; 当 f ? ( x ) ? 0 , 即 ? 2 ? x ? 2 . 当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表: x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞) f ?(x) + 0 – 0 + f (x) 单调递增 28/ 3 单调递减 ? 4 / 3 单调递增 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .求解函数极值的一般步骤:(1)确定函数的定义域(2)求方程f’(x)=0的根(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格(4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况练习2求下列函数的极值: (1) f (x) ? 6x2 ? x ? 2; (2) f (x) ? x3 ? 27x; (3) f (x) ? 6 ?12x ? x3; (4) f (x) ? 3x ? x3.解 : 1 (1) f ?(x) ?12x ?1, 令 f ? ( x ) ? 0 , 解得 x ? . 列表: 12 1 1 1
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