空间曲面及其方程多元函数

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1、高等数学多媒体课件华南农业大学理学院数学系牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）7/20/20211第六章多元函数微积分第一部分空间解析几何第二部分多元函数微分学第三部分二重积分7/20/20212主要内容第一节空间曲面及其方程多元函数第二节偏导数全微分第三节复合函数和隐函数的偏导数第四节二元函数的极值第五节二重积分第六节二重积分的应用第七节经济应用Ⅵ7/20/20213第一节空间曲面及其方程多元函数第六章四、多元函数一、空间直角坐标系二、空间曲面与方程的概念三、常见的空间曲面及其方程五、二元函数的极限与连续性7/20/20214ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空

2、间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,坐标面卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ7/20/20215向径坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);在直角坐标系下7/20/20216坐标轴:坐标面:7/20/202172.空间中两点之间的距离于是空间两点间的距离公式为：特别地7/20/20218证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点例1求证以7/20/202193、向量及其运算

3、表示法:向量的模:向量的大小,向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,7/20/202110规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;7/20/20

4、2111(1)向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.7/20/2021127/20/202113三角不等式(2)向量的减法7/20/202114是一个数,规定:可见与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此(3)数与向量的乘积7/20/202115设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b同向时则b与a同向,设又有b＝a,定理17/20/202116“”则例1设M为解:ABCD对角线的交点,已知b＝a,b

5、＝0a,b同向a,b反向a∥b7/20/202117在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r可用向径OM表示.(4)向量的坐标表示7/20/202118(5)利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:7/20/202119在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示及实数得即例3已知两点7/20/202120得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得中点公式:说明:由7/20/202121内容小结2.向量的概念及其线性运算1.空间直角坐标系3.利用坐标变量作向量的线性运算7/20/2021

6、22二、空间曲面与方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.引例:1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.7/20/202123如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,

7、研究它所表示的几何形状(必要时需作图).定义17/20/202124故所求方程为方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示上(下)球面.例1求动点到定点7/20/202125解:配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为例2研究方程7/20/202126解整理得7/20/202127三、空间常见的空间曲面及其方程常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转面和二次曲面等.空间曲线，特别是直线，在空间解析几何中非常重要.下面，我们对这些图形作简单介绍.7

8、/20/2021281.平面及其方程第