习题课(I)101二重积分概念

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1、例.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：设为抛物面上任一点，则P的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面9复习与习题课令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故P131题18.在第一卦限内作椭球面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.解:设切点为则切平面为所指四面体围体积V最小等价于f(x,y,z)=xyz最大,故取拉格朗日函数=0=0=0=0解得由实际问题知,在点处的切平面与三坐标面围成的四面体体积最小.最小体积为设与均为可微函数，且已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是【】．，则（B）若，则（C）若

2、，则（D）若，则（A）若(06考研)=0=0D多元函数极限同样具有极限的保号性.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点．已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且则().(03考研)A(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点；(B)点(0,0)是f(x,y)的极小值点；(C)点(0,0)是f(x,y)的极大值点；应如何选择B令左边为正。在原点的某邻域令右边为负。P130总习题九第2题设f(x,y)在点（0，0）的附近有定义，(C)曲线在（0,0,f(0,0)）处的切向量为{1,0,3};(D)曲线在(0,0,

3、f(0,0))处的切向量为{3,0,1}.则().(01数一)(A)dz

4、（0，0）=3dx-dy；(B)曲面z=f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,-1,-1}；C且则切向量T={1,0,3}(若f可微或一阶偏导数连续,则都对)设三元方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)．(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)．(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)．(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)．存在点(0,1

5、,1)的一个邻域,在此邻域内该方程,根据隐函数存在定理，偏连，非空显然满足0,1,10,1,10,1,1≠0≠0=0()(D)(05数一)在平面π上,而π与相切于(1,-2,5),求a,b.解:在(1,-2,5)的法向量据题意:过L的平面束即解得,第十章重积分一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分第十一章推广三、二重积分的性质一、引例二、二重积分的定义与可积性§10.1二重积分的概念与性质第十章解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z

6、轴的柱面求其体积.“分割,近似,求(近似)和,(取)极限”1)“分割”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“近似”在每个3)“求（近似）和”则中任取一点小曲顶柱体4)“(取)极限”令2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“分割,近似,求(近似)和,(取)极限”解决.1)“分割”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.(连续),2)“近似”中任取一点3)“求(近似)和”4)“(取)极限”则第k小块的质量两个问题的共性：(1)解决问题

7、的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割,近似,求(近似)和,(取)极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:定义:将区域D任意分割成n个小区域任取一点作积若存在,称f(x,y)在D上可积.记作是定义在有界区域D上的有界函数,取极限求和其极限值,称为f(x,y)在D上的二重积分.即二、二重积分的定义及可积性或积分域被积函数积分表达式面积元素引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作或二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线

8、外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有三、二重积分的性质(a、b为常数)为D的面积,则(有和定积分完全对应的性质:7条)假定下列性质中出现的二重积分存在特别,由于则4.若在D上5.设D的面积为,则有即6.(二重积分的中值定理)证:由性质5可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上例2.估计下列积分之值解:D的面积为由于即:1.96I2D性质7.设函数

9、D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有