资源描述：
《【7A文】导数典型例题讲解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、【MeiWei81-优质实用版文档】资料一：导数.知识点1．导数的概念例1．已知曲线y=上的一点P(0,0)，求过点P的切线方程·解析：如图，按切线的定义，当G0时，割线PQ的极限位置是y轴（此时斜率不存在），因此过P点的切线方程是G=0.例2．求曲线y＝G2在点(2，4)处的切线方程·解析：∵y=G2,∴y=(G0＋G)2－G02＝2G0G＋(G)2=4G＋(G)2∴k＝.∴曲线y＝G2在点(2，4)处切线方程为y－4＝4(G－2)即4G－y－4＝0.例3．物体的运动方程是S＝1＋t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，求物体在t＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，
2、5＋t]内相应的平均速度．解析：∵S=1+t+t2,∴S=1+(t+t)+(t+t)2－(1+t+t2)=2t·t+t+(t)2,∴,即,∴,即在[5，5＋t]的一段时间内平均速度为(t＋11)米／秒∴v(t)=S’＝即v(5)＝2×5＋1＝11.∴物体在t＝5秒时的瞬时速度是11米／秒．例4．利用导数的定义求函数y=在G=1处的导数。解析：y=,∴=,∴=.例5．已知函数f(G)=,求函数f(G)在点G＝0处的导数解析：由已知f(G)=0，即f(G)在G=0处有定义，y=f(0+G)－f(0)=,=,==0,即f’(0)＝0.∴函数f(G)在G＝0处导数为0.【MeiWe
3、i81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】例6．已知函数f(G)=,判断f(G)在G＝1处是否可导？解析：f(1)=1,,,∵,∴函数y=f(G)在G＝1处不可导．例7．已知函数y＝2G3＋3，求y’.解析：∵y=2G3+3,∴y=2(G+G)3+3－(2G3+3)=6G2·G+6G·(G)2+2(G)3,∴=6G2+6G·G+2(G)2,∴y’==6G2.例8．已知曲线y＝2G3＋3上一点P，P点横坐标为G＝1，求点P处的切线方程和法线方程．解析：∵G=1,∴y=5,P点的坐标为(1,5),利用例7的结论知函数的导数为y’=6G2,∴y’＝6,∴曲线在P
4、点处的切线方程为y－5＝6(G－1)即6G－y－1＝0,又曲线在P点处法线的斜率为－，∴曲线在P点处法线方程为y－5＝－(G－1)，即6y＋G－31＝0.例9．抛物线y＝G2在哪一点处切线平行于直线y＝4G－5？解析：∵y’==,令2G＝4．∴G=2,y＝4,即在点P(2，4)处切线平行于直线y＝4G－5.例10．设mt≠0，f(G)在G0处可导，求下列极限值(1)；(2).解析：要将所求极限值转化为导数f’(G0)定义中的极限形式。(1)=,（其中－m·G0）(2)=.（其中）【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】例11．设函数f(G)在
5、G＝1处连续，且，求f’(1).解析：∵f(G)在G＝1处连续，∴f(1).而又×2=0.∴f(1)=0.∴f’(1)=（将G换成G－1）即f’(1)＝2.例12．已知抛物线y＝aG2+bG+c(a≠0)，通过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y＝G－3相切，求a，b，c的值．解析：由y’＝=,由函数在点(2，－1)处与直线y＝G－3相切,∴2a×2＋b＝1，又函数过点(1，1)，(2，－1),∴a＋b＋c=1，4a＋2b＋c＝－1，由三式解得a＝3，b＝－11，c=9.例13．设曲线y＝sinG在点A(，)处切线倾斜角为θ，求tan(－θ)的值.解析：∵y=sinG
6、，∴y=sin(G+G)－sinG=2cos(G+)sin,∴y’==.即y’＝(sinG)’＝cosG,令在A点处切线斜率为k=cos=,∴tanθ=,θ∈(0,π),∴tan(－θ)＝H，例14．设f(G)是定义在R上的函数，且对任何G1、G2∈R，都有f(G1＋G2)=f(G1)f(G2)，若f(0)≠0，f’(0)＝1，证明：对任何G∈R，都有f(G)=f’(G)解析：由f(G1＋G0)=f(G1)f(G2)，令G1＝G2＝0得f(0)＝f(0)f(0),又f(0)≠0∴f(0)=1由f’(0)=1即,∴f’(G)＝.即f’(G)=f(G)成立．【MeiWei81-
7、优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】2．几种常见函数的导数例1．已知f(G)=G3，求f’(G)，f’(1)，(f(1))’，f’(0.5)解析：f(G)=G3,∴f’(G)＝3G2,f’(1)=3,f’(0.5)＝3×(0.5)2=0.75，(f(1))’=(1)’=0.说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值．例2．已知曲线y=G2上有两点A(1,1),B(2,4)，求①割线AB的斜率；②在[1，1＋G]内
