偏微分方程定解问题

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1、§1.1三个典型方程的导出§1.2定解问题及其适定性§1.3通解法和行波法§1.4二阶线性偏微分方程的分类和标准型第一章偏微分方程定解问题1(1)偏微分方程有一个未知多元函数是未知变量；如果能够得到如下关系式：为的各阶偏导数。上述关系式就称为偏微分方程。为书写方便，通常记§1.1三个典型方程的导出2(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶。(3)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程．(4)自由项在偏微分方

2、程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．3☆场位方程（拉普拉斯方程）：☆热传导方程：☆波动方程：琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布4导出－“翻译”导出步骤:i)确定物理量u；ii)从所研究的系统中划出一个小部分，根据物理规律分析邻近部分和这个小部分的相互作用；iii)这种相互作用在一个短时间段如何影响物理量u，把这种影响用算式表达出来。如何导出？5一、弦的横振动一根弦在内部张力作用之下处于平衡位置，某个微小

3、扰动引起部分质点的位移，内部张力又使邻近的部分随之产生位移。著名二胡演奏家宋飞演奏弦乐器(如提琴、二胡)的人用弓在弦上来回拉动。弓所接触的只是弦的很小一段，似乎应该只引起这个小段的振动。实际上，振动总是传播到整根弦，弦的各处都振动起来。人们力求用数学方法研究这种弦振动传播现象。一、波动方程的推导6理想化假设：(1)均匀——ρ常数；(2)柔软——任意弯曲，没有抵抗弯曲的力，张力沿弦的切线方向；(3)弹性——抵抗拉伸的张力满足胡克定律；(4)细——截面情况不考虑。可看作无粗细的线；(5)微小横振动——绝对位移和相对位移都很

4、小。研究对象：，弦上某点在t时刻的横向位移。建立坐标系：确立未知函数7牛顿运动定律：F=ma微元分析法：取微元[x,x+dx]，t时刻(1)(2)T1T2u方向：x方向：8张力沿切线：由(1)得:（T与x无关）胡克定律每个时刻都有：dsdx，长度ds不随时间而变化：T=T1=常数代入(2)------理想弦的振动方程（第一个偏微分方程）其中：9一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足其中：u(x,y,t)表示在t时刻、膜在(x,y)点处的位移f(x,y,t)表示单位质量所受的外

5、力a2=T/：T表示张力、为面密度二维波动方程或膜振动方程（鼓）10三维波动方程或声波方程波动方程弹性介质的振动方程统称为波动方程。均匀弦的微小横振动和均匀杆的纵振动满足一维波动方程，均匀薄膜的微小振动方程是二维波动方程，弹性介质中声波的传播是三维波动方程。113、考虑其他因素T的近似问题：微小、横振动(绝对位移不远小于1)。T为常数的假设不成立。如：习题5弦在粘稠的液体中振动，阻尼必须考虑，在建立方程时需加上阻尼项即。4、任何数学模型都是相对的，超出理想化假设范围，则需建立新的模型。12P45习题6均匀杆的纵振动

6、(1).纵振动与纵波的机理一张力和杆(介质)(2).均匀杆的纵振动同横向振动，除杆的振动位移在纵向外，仍然采用微元法.研究对象：t时刻杆上各质点离开平衡位置的纵位移。建立坐标系：以杆的中轴线为x轴。微元分析法：取微元[x,x+dx]，即杆上B段。xu(x,t)F2xx+dxF1ABC平衡位置u(x+dx,t)CBAt时刻牛顿运动定律：t时刻F=ma均匀杆形变产生的应力与应变满足胡克定律。13相对伸长量：原长：dxt时刻长度(现长)：左端位移右端位移xu(x,t)F2xx+dxF1ABC平衡位置u(x+dx,t)CBAt

7、时刻相对伸长量其中：B小段分别受邻段A和C的拉力F1和F2。14二、热传导方程的推导起源：19世纪，傅里叶研究工业中金属加热问题时提出。物理模型：空间某个介质或静止流体内温度分布不均匀，引起热量流动，考虑热运动如何进行。15理想化假设：介质均匀常数各向同性c,k均为常数未知函数：温度取定坐标系微元分析法ozxy(x,y,z)(x+dx,x+dy,z+dz)dxdydz微元dv=dxdydz[t,t+dt]时间段物理定律：1、能量守恒2、傅里叶热传导定律热传导系数热流密度矢量16傅立叶热传导定律：在物体内部，在垂直于导

8、热方向上，两个相距为h，面积为S，温度分别为T1、T2的平行平面，在Δt秒内，从一个平面传到另一个平面的热量ΔQ，满足下式：式中ΔQ/Δt定义为传热速率，λ定义为该物质的导热系数，亦称热导率，“-”号表示热量向低温的方向传递。17翻译：对微元应用物理定律dt时间内温度升高所需热量o(x,y,z)zxy(x+dx,x+dy,z+dz