函数的连续性和连续函数

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1、第六节函数的连续性与连续函数1、函数的增量一、函数在一点处的连续1例1证明函数y=x2在给定点x0处连续。证在x0处，函数的改变量为所以y=x2在给定点x0处连续。2、函数在一点处连续的定义2下面给出函数连续的定义的另一种等价形式。3例2证4定理3.单侧连续5例3解即不右连续也不左连续,xy-11O6例4解7二、连续函数8例5证9三、连续函数的运算和初等函数的连续性定理1例如,1、连续函数的四则运算法则三角函数在其定义域内皆连续.10定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.2、反函数的连续

2、性11定理33、复合函数的连续性极限运算与函数运算可以交换124、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★★均在其定义域内连续.13所有基本初等函数在其定义域内都是连续的.一切初等函数在其定义域内都是连续的.也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。14利用函数的连续性可以计算一些极限.初等函数求极限的方法：代入法.例6例7解解15例8解极限运算与函数运算可以交换16例9解类似可得17例10解前面已证18常用等价无穷小:19等价代换原理：证只有在乘、除的极限运算中才能替换；注意在加、减的极限运算中不能

3、替换！20例11解21例12解解错22例13解23例14解例15解24定理1(有界性与最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界且能取得最大值和最小值.1、有界性与最大值最小值定理四、闭区间上的连续函数记作25注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.262、介值定理与零点定理推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.27几何解释:MBCAmab28几何解释:定义29例16证由零点定理,30例17证由零点定理,31练习：P67习题二32