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《15 巴拿赫不动点定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、泛函分析导论1.5Banach不动点定理及应用巴拿赫不动点定理(BanachFixedPointTheorem)，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，它是用泛函分析方法统一处理许多关于解的存在性和唯一性问题(如微分方程、代数方程组、积分方程等)的一个重要定理．许多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点，而压缩映射原理描述了映射不动点的存在性和唯一性的充分条件，并提供了一个迭代程序，按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误差，这是代数方程，微分方程，积分方程，泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法．1.5.1Banach不动点定理及推
2、论定义1.5.1不动点(Fixedpoints)∗∗∗∗设X是一个非空集合，A:XX→为映射，如果存在x∈X满足A()xx=，则称x为映射A的不动点．222例如(1)从R到R上的映射fxx:→有两个不动点，即x=0和x=1．(2)从R到R上的映射fxy:(,)→(,)yx有无穷多个不动点，即直线yx=上的所有点均是不动点．设f是空间X到自身的映射，方程fx()0=的求解可转化为求映射Tx:(→+αfxx)∗∗∗∗∗∗的不动点，其中常数α≠0(显然当Tx=x时，即αfx()+xx=，可得fx()0=)．关于不动点的定理，最简单而又最广泛
3、应用的是著名的压缩映射原理．定义1.5.2压缩映射(Contractionmapping)设X是一个度量空间，A:XX→为映射，如果存在常数α∈(0,1)，对于任何x,yX∈，有dAxAy(,)≤αdxy(,)则称A为X上的压缩映射．称常数α为压缩系数．显然压缩映射是连续映射．下面的压缩映射原理是由Banach于1922年给出的，也称为Banach不动点定理．定理1.5.1Banach不动点定理(压缩映射原理Contractionmappingprinciple)设X是完备的度量空间，A:XX→是压缩映射，则A在X中具有唯一的不动点，
4、即存在∗∗∗唯一的x，使得x=Ax()．证明任取x∈X，构造点列{}x：0nx=Ax()，x=Ax()，x=Ax()，x=Ax()，…，x=Ax()，…．10213243nn−1∗∗∗∗下面证明(1)证{}x为基本列；(2)证x→x，x=Ax()；(3)证x的唯一性．nn(1)证{}x为基本列．n因为A是压缩映射，所以不妨设dAxAy(,)≤αdxy(,)，其中α∈(0,1)，记dxx(,)=c，于100是有——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授ylyang@mail.xidian.edu.cn-27-第一章度量空间dxx(,)
5、(,)=≤≤dAxAxαdxx(,)αc；21101002dxx(,)(,)=≤≤dAxAxααdxx(,)c；32212103dxx(,)(,)=≤≤dAxAxααdxx(,)c；4332320…………n−1dxx(,)(=≤≤dAxAx,)ααdxx(,)c．nn−−11nn−−21nn−20因此对于正整数k有dxx(,)(,)(,)≤++dxxdxxL+dx(,)xnnk++nn11n+n++2nk−1nk+nn++11nk−≤+++()ααLαc0nknαα(1−)α=c≤c→0(n→∞)001−α1−α故{}x为基本列．n∗
6、∗∗(2)证x→x，x=Ax()．n∗因为X是完备的度量空间，所以基本列{}x收敛，不妨设x→x(n→∞)；又知压缩映射nn是连续映射以及x=Ax()，于是nn−1∗∗x=limx=lim(Ax)=Ax(lim)=Ax．nn−1n−1n→∞n→∞n→∞∗(3)证x的唯一性．∗∗∗若存在x1∈X且x11=Ax()，那么∗∗∗∗∗∗dxx(,)(,)11=≤dAxAxαdxx(,)1∗∗∗∗∗∗于是(1−≤α)(dxx1,)0，从而dxx(,)01≤，即x1=x．□注1Banach不动点定理给出了在完备度量空间X中求解不动点的迭代法，即∀
7、∈xX，1∗由x=Ax(n=1,2,L)获得不动点x→x．nn+1n∗第n次迭代后的近似解x与不动点x的误差估计：根据上述定理证明的第二部分知nnαdxx(,)≤c，于是令k→∞有nnk+01−αnnn∗αααdxx(,)≤=cdxx(,)=dAxx(,)．n0100011−−αα1−αn∗α即dxx(,)≤dAxx(,)．n001−α注2Banach不动点定理中的两个条件压缩性和空间的完备性都是十分重要的．例如当dAxAydxy(,)(,)<时，未必存在不动点．π设A:RR→，A()xx=+−arctanx，那么∀xy,∈R，有2d
8、AxAy(,)=−AxAyππ=+−(xarctan)(xy−+−arctan)y22=−−xyxy(arctan−arctan)-28-——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授ylyang@mail.xidian.
