功率谱密度和白噪声过程

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1、平稳随机过程的功率谱密度白噪声随机过程主讲人：张有光电话：82314978办公室：新主楼F806第六讲：主要内容一、平稳过程的功率谱密度二、谱密度与自相关函数三、平稳过程的互谱密度四、白噪声过程一、平稳过程的功率谱密度1、能量型信号2、信号的频谱3、信号的能谱4、功率型信号5、平均功率的谱表示和功率谱密度6、平稳过程的功率谱密度1、能量型信号能量型信号其中，s(t)为信号，W为总能量。2、信号的频谱在的情况下，能量型信号s(t)的傅立叶变换存在，即称F(ω)为信号s(t)的频谱。？3、信号的能谱密度能量型信号的能谱E(ω)为由巴塞伐尔等式，可得到能量守恒！信号的总能量信号的能谱密度4、功率型信

2、号能量无限，平均功率有限的信号称为功率型信号。即Ps为信号的平均功率。5、平均功率的谱表示功率型信号不满足绝对可积条件。为了能够利用傅立叶变换给出平均功率的谱表示式，构造截尾函数：平均功率的谱表示sT(t)能够满足绝对可积条件。sT(t)的频域结构sT(t)的平均功率：平均功率的谱表示由巴塞伐尔等式，可得到两边同除以2T，并由截尾函数的定义，得到平均功率的谱表示令T趋于无穷，功率型信号s(t)在(-∞,∞)上的平均功率可表示为功率型信号的平均功率谱密度功率谱密度功率型信号的平均功率谱密度，简称功率谱密度，定义为：6、平稳过程的功率谱密度平稳随机过程的样本函数是功率型的。为平稳过程X(t)的平均

3、功率。我们定义6、平稳过程的功率谱密度由于平稳随机过程的均方值是常数平稳过程的功率谱密度定义为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。这样，Px又可以写成平均功率谱的表达式平稳过程的功率谱密度为双边功率谱密度，但在实际应用中，负频率不存在，故引入单边谱密度二、谱密度与自相关函数1、功率谱密度与自相关函数的关系—维纳-辛钦公式2、功率谱密度两种定义的等价条件3、功率谱密度的性质1、谱密度与自相关函数的关系平稳随机过程的功率谱密度是它的自相关函数的傅立叶变换：①由于是实函数谱密度与自相关函数的关系由傅立叶逆变换公式，有上述两式统称为维纳-辛钦公式②返回注释：对比“信号与系统”中维纳辛钦公式2、功率谱密度

4、两种定义的等价条件对于第一种定义，将其展开功率谱密度两种定义的等价条件通过变量置换，最后得到：只要则上式中第二项为零，故此时也就是说，平稳随机过程在自相关函数绝对可积的情况下，维纳-辛钦公式成立。此时功率谱密度的两种定义等价。功率谱密度两种定义的等价条件功率谱的意义3、功率谱密度的性质若过程X(t)是实平稳的，则自相关函数是实偶函数，因此功率谱密度也是实偶函数，即证明：功率谱密度的性质由于R(τ)和S(ω)都是偶数，于是维纳-辛钦公式还可以写成：例2.4-1设随机相位余波的功率谱密度，其是在区间内均匀分布.解：例2.4-2随机电报信号自相关函数求功率谱密度例2.4-3已知功率谱应用留数定理留数

5、和例2.4-4若平稳随机过程功率谱三、互谱密度1、互谱密度的定义2、互谱密度的维纳-辛钦公式形式定义3、互谱密度的性质1、互谱密度的定义定义：设随机过程X(t)和Y(t)是联合平稳的，则定义互谱密度为2、互谱密度的维纳-辛钦公式随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度是它们的互相关函数RXY(τ)的傅立叶变换：2、互谱密度的维纳-辛钦公式当若X(t)是一个二端电压、Y(t)是流经该器件的电流，则上式左边就是消耗的功率。两个正交随机过程性质随机过程X(t)和Y(t)正交此时有：3、互谱密度的性质1）2）3）奇函数偶函数先证明：令：互谱密度函数不是实的、正的偶函数从定义和施瓦茨不等式四、白噪声过程1、

6、白噪声过程的定义2、白噪声过程的自相关函数3、白噪声的相关系数1、白噪声过程的定义若一个均值为零的平稳过程具有恒定功率谱密度则称W(t)为白噪声过程。其中N0表示单边功率谱密度。相当于《信号与系统》中的冲击响应函数2、白噪声过程的自相关函数根据维纳-辛钦公式，白噪声过程的自相关函数：2、白噪声过程的自相关函数白噪声的自相关函数和功率谱密度3、白噪声过程的相关系数白噪声的相关系数：可见白噪声在任意两个相邻时刻的取值都不相关。还句话说，白噪声随时间的起伏变化较快，频域来说频谱很宽。注释：白噪声平均功率白噪声是一种理想化的数学模型，在物理上不可实现，因为按照白噪声的定义它的平均功率是无限大。由于白噪

7、声数学表述上的简洁性，是很多物理现象的一种近似。如电子管中的散弹噪声，通信传播中的信道干扰。显然白噪声是各态历经过程，它可以看成是大数定律中随机序列推广到连续时间的情形。4、非白噪声非白噪声成为有色噪声，或相关噪声，其功率谱密度：其功率谱密度不再是均匀的，而是频率ω的函数。5、矢量白噪声定义：若一个n维独立矢量随机过程均值矢量为本节课小结1、平稳过程的功率谱密度2、谱密度与自相关函数：维纳辛钦定理