同济大学《高等数学》(第四版)2-7节函数的微分

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1、第七节函数的微分微分的意义与近似计算函数的微分的定义问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?1.微分的概念y=Ax+o(x)此时,称f(x)在点x0处可微。设y=f(x)在U(x0)有定义,给x0以增量x,且x0+xU(x0)。如果函数相应的增量可表示为则称y的线性主部为f(x)在点x0处的微分,记为dy=Ax,其中,A叫微分系数。2.可微与可导的关系定理y=f(x0)x+o(x)dy=f(x0)x也就是说,f(x)在

2、点x0处的可微性与可导性是等价的,且f(x)在点x0处可微,则解什么意思？例1自变量的增量就是自变量的微分：函数的微分可以写成:该例说明:此外,当x为自变量时,还可记即函数f(x)在点x处的导数等于函数的微分dy与自变量的微分dx的商,故导数也可称为微商.哈哈！除法,这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了.解故例2MNT）几何意义:(如图)P3.微分的几何意义几何上,函数y=f(x)在点x处的微分表示为:相应于自变量x的改变量x,曲线y=f(x)在点P(x,y)的切线上纵坐标的改变量.4.微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函

3、数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则例3解例4解六、微分形式的不变性结论：微分形式的不变性例6解例5解例7解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.七、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★导数与微分的区别:★思考题思考题解答说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.练习题练习题答案