向量及其线性运算(III)

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1、第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算第二节向量的坐标第三节向量的乘法运算第四节曲面及其方程第五节空间曲线及其方程本章主要内容：第六节平面及其方程第七节空间直线及其方程第一节向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算一、向量的概念表示法:向量的模:向量的大小,向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同

2、或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.2.向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此例1.化简解：例2.设M为解:ABCD对角线的交点,定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且

3、再证数的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b同向时则b与a同向,设又有b＝a,“”则已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b注：定理1是建立数轴的理论依据。我们知道，确定一条数轴，需要给定一个点、一个方向及单位长度。由于一个单位向量既确定了方向，又确定了单位长度，因此，只需给定一个点及一个单位向量，就能确定一条数轴。如右图，设点O及单位向量确定了数轴，则对于轴上任意一点P，对应一个向量由于，故必存在唯一的实数x,使得其中x称为数轴上有向线段的值。这样，向量就与实数x一一对应，从而即数轴上的点P与实数x一一对应，我们称实数x为数轴上

4、点P的坐标。例3.如图，在x轴上取定一点O作为坐标原点，设A，B是x轴上坐标依次为x1，x2的两个点，是与x轴同方向的单位向量，证明证:因为OA=x1,所以同理于是作业