向量组及其线性组合

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1、第四章向量组的线性相关性§1向量组及其线性组合定义：n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量．分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．备注：一般只讨论实向量（特别说明的除外）．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量．所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量．列向量用黑色小写字母a,b,a,b等表示，行向量则用aT,bT,aT,bT表示．只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).二、特殊的矩阵n维向量的运算1

2、、向量相等（维数相同且对应元素相等）向量加法和数乘运算统称为向量的线性运算2、向量相加（维数相同，对应元素相加）3、向量的数乘（数乘以向量的每一个分量）n维向量的运算律定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组．结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组当R(A)

3、．定义：给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A的线性表示．线性方程组Ax=b有解例：设那么线性组合的系数e1,e2,e3的线性组合一般地，对于任意的n维向量b，必有n阶单位矩阵En的列向量叫做n维单位坐标向量．回顾：线性方程组的表达式一般形式向量方程的形式增广矩阵的形式向量组线性组合的形式方程组有解？向量是否能用线性表示？结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b有解结

4、论：定义：设有向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示．若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价．设有向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量组B能由向量组A线性表示，即线性表示的系数矩阵设有向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量组B能由向量组A线性表示，即对于b1，存在一组实数k11,k21,…,km1，使得b1=k11a1+k21a2+…+km1am；对于b2，存在一组实数k12,k22,

5、…,km2，使得b2=k12a1+k22a2+…+km2am；……对于bl，存在一组实数k1l,k2l,…,kml，使得bl=k1la1+k2la2+…+kmlam若Cm×n=Am×lBl×n，即则结论：矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．若Cm×n=Am×lBl×n，即则结论：矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵．口诀：左行右列定理：设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩

6、阵.结论：若C=AB，那么矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵．（A在左边）矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．（B在右边）A经过有限次初等列变换变成B存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使AP1P2…,Pl=B存在m阶可逆矩阵P，使得AP=B矩阵B的列向量组与矩阵A的列向量组等价矩阵B的行向量组与矩阵A的行向量组等价同理可得口诀：左行右列.把P看成是线性表示的系数矩阵向量组B：b1,b2,…,bl能由向量组A：a1,a2,…,am线性表示存在矩阵K，使得AK=B矩阵方程AX

7、=B有解R(A)=R(A,B)R(B)≤R(A)推论：向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)．证明：向量组A和B等价向量组B能由向量组A线性表示向量组A能由向量组B线性表示从而有R(A)=R(B)=R(A,B)．因为R(B)≤R(A,B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)例：设证明向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3线性表示当且仅当R(A)=R(A,b)．因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3线性表示

8、．行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3．n阶单