周期信号的傅里叶级数和频谱

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1、第三章连续信号与系统的实频域分析主讲人：史洪宇本章主要内容:3.1连续周期信号的傅里叶级数与频谱3.2连续非周期信号傅里叶变换与频谱3.3傅里叶变换的性质3.4LTI连续系统的频域分析3.5滤波器3.6采样器3.7调制器与解调器变换域分析的基本思想为：将信号分解为基本信号之和或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而求出系统对给定信号的响应（零状态响应）。在第二章中我们以其中h(t)反映了系统的特性。为基本信号将任意信号进行分解(虚指数函数)为基本信号。本章以正弦函数或任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数之和。任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数积分。具

2、有一定幅度和相位，角频率为的虚指数函数作用于LTI连续系统时，所引起的响应(零状态响应)是同频率的虚指数函数，可表示为：系统的影响表现为频率响应函数，它是信号角频率的函数，而与时间t无关，用于系统分析的独立变量为，故称之为频域分析。将周期信号在区间内展开成完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。从本章开始由时域转为变换域分析。首先考虑傅里叶变换。频域分析将时间变量t转换成频率变量ω或f。揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性及其频率特性之间的密切关系

3、从而导出信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。一、周期信号的分解设有一个周期信号，它的周期是，角频率，它可分解为：其中称为傅里叶系数，。3.1连续周期信号的傅里叶级数与频谱那么,傅里叶系数如何求得呢?由上式可见，是的偶函数，是的奇函数，由于是同频率项,因此:式中：则有可见，是的偶函数，即有而是的奇函数，即有可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直流分量，一次谐波或基波，它的角频率与原周期信号相同，二次谐波波，以此类推，三次，四次等谐波。……一般而言称为次谐波，是次谐波的振幅，是其初相角。**结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。例3.1-1将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。解：

4、它仅含有一、三、五、七....等奇次谐波分量。如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：TT/20t(a)基波0T/2Tt(b)基波+三次谐波0T/2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波0T/2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波图3.1-1方波的组成（1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号。（2）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。（3）即使，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。(吉布斯现象）主体-----低频细节------高频二、傅里叶级数的指数形式将上式第三项中的用代换，并考虑到是的偶函数，

5、即；是的奇函数,则上式可写为:如将上式中的写成（），则上式可以写成:令复数量，称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为，相角为，则得傅里叶级数的指数形式为：njnjnFeFeAnn==jj21复傅里叶系数这就是求指数形式傅里叶级数的复系数的公式。任意周期信号可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，其各分量的复数幅度（或相量）为。总结：与互为共轭。与的关系。三角形式傅里叶级数：指数形式傅里叶级数：任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和。复傅里叶系数与，，的关系:§3.1.2周期信号的频谱一、周期信号的频谱三角形式：指数形式：如果将，的关系绘成如图3.3.1（a）（c）线图

6、，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。如果将，的关系绘成如图4.3.1（b）（d）的线图，同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。例3.1-2试画出f(t)的振幅谱和相位谱。解：f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、6π分别为二、三、六次谐波频率。且有：其余图3.1-2(a)振幅谱；(b)相位谱图3.1-3信号的双边频谱(a)振幅谱；(b)相位谱二、周期矩形脉冲的频谱设有一幅度

7、为1，脉冲宽度为的周期性矩形脉冲，其周期为，求其复傅里叶系数。图3.1-4周期矩形脉冲11---------取样函数1.它是偶函数。2.当时，。3.当时，函数值为0。它是无限拖尾的衰减振荡。,该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：图3.1-5周期矩形脉冲的频谱（T=4）零点的位置：相邻谱线的间隔：第一个零点的位置：第一个零点时谱线的序号：由上图可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：第