周期信号的频谱分析

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1、2.2周期信号的频谱分析——傅里叶级数2.2.1正交函数1、正交矢量垂直投影xy斜投影xxyy当=90，称x与y相互垂直的矢量为正交矢量。将一个平面中的任意矢量在直角坐标中分解为两个正交矢量的组合。把相互正交的两个矢量组成一个二维的“正交矢量集”。在此平面上的任意分量都可用二维正交矢量集的分量组合来表示。可推广应用于n维信号矢量空间。v12．正交函数假定，要在区间[t1，t2]内用函数x2(t)近似表示x1(t)x1(t)c12x2t)这里的系数怎样选择才能得到最佳的近似？我们选择误差的方均值（或均方值）最小，这时，可以认定已经得到了最好的近似。均方误差

2、定义为2上式表示x1(t)有x2(t)的分量，此分量的系数是c12。如果c12等于零，则x1(t)不包含x2(t)的分量，这种情况称为：x1(t)与x2(t)在区间[t1，t2]内正交。得出两函数在区间[t1，t2]内正交的条件是【例2-2】试用正弦函数sint在区间[0，2]内来近似表示余弦函数cost。解：显然，由于cost与sint两函数正交。3【例2-3】设矩形脉冲x(t)有如下定义波形如图，试用正弦波sint在区间[0，2]内近似表示此函数，使均方误差最小。解：函数x(t)在区间[0，2]内近似为x(t)=c12sint为使均方误差最小，c12应

3、满足453.正交函数集定义：假设有n个函数g1(t)，g2(t)，…，gn(t)构成的一个函数集，这些函数在区间[t1，t2]内满足如下的正交特性其中ki为常数，则函数序列g1(t),g2(t),g3(t),…,gn(t)是[t1，t2]区间上的正交函数集。三角函数序列cos1t,cos21t,cos31t,…,cosn1t,…，sin1t,sin21t,sin31t,…,sinn1t,…为区间[0,2/1]上的正交函数集。6令任一函数x(t)在区间[t1，t2]内由这n个互相正交的函数线性组合所近似，表示式为x(t)=c1g1(t)+c2g

4、2(t)+…+cngn(t)为满足最佳近似的要求，可利用均方误差最小的条件求系数c1，c2，…，cn。均方误差表示式为74、完备正交函数集定义一:如果用正交函数集{gi(t)}在区间[t1，t2]内近似表达函数x(t)，即x(t)=c1g1(t)+c2g2(t)+…+cngn(t)若令n，其均方误差的极限等于零则此正交函数集为完备正交函数集。如果对某一正交函数集ki=1，称此正交函数集为“归一化正交函数集”。8定义二如果在正交函数集g1(t)，g2(t)，…，gn(t)之外，不存在函数f(t)满足等式则此函数集称为完备正交函数集。常用的完备正交函数集有（1）

5、三角函数1，cos1t，cos21t，…，cosn1t…sin1t，sin21t，…，sinn1t…（2）复指数函数ejn1,n=0,1,2,……（3）沃尔什函数Wal(k,t)9数学上可以证明，当函数x(t)在区间[t1t2]内具有连续的一阶导数和逐段连续的二阶导数，x(t)可以用完备的正交函数集来表示，这就是所谓的函数“正交分解”。对于任意周期信号x(t)=x(t+nT1)，在满足狄里赫利条件下，可展成傅里叶级数。狄里赫利条件：1）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；2）在一个周期内，极大值与极小值的数目应是有限个；3

6、）在一个周期内，信号是绝对可积的，即10三角形式的傅里叶级数，即将周期信号展成不同频率的正弦或余弦三角函数的线性组合。即x(t)=a0+a1cos1t+b1sin1t+a2cos21t+b2sin21t+…+ancosn1t+bnsinn1t+…根据三角函数的正交性，满足如下关系：（所有的m,n）2.2.2周期信号的频谱分析——傅里叶级数1.三角函数形式的傅里叶级数2/T1=111直流分量余弦分量正弦分量积分区间[t0，t0+T1]，可取为[0，T1]或[T1/2，T1/2]。也可写成另一种形式:或12两者的关系:a0=c0=d0cn=dn=(

7、an2+bn2)1/2an=cncosn=dnsinnbn=cnsinn=dncosn13傅里叶级数的公式表明：（1）等式左端为一复杂信号的时域表示，右端则是简单的正弦信号的线性组合，利用傅里叶级数的变换，可以把复杂的问题分解成为简单问题进行分析处理。（2）虽然左端是信号的时域表达式，右端是信号的频域表示，但表示的是同一信号，是完全等效的。（3）任意周期信号可以分解为直流分量和一系列交变分量的相加。1为信号的基频，相应的分量为基波，其他交变分量则为谐波，其频率必定是基频的整数倍。（4）直流分量的幅度c0(d0)与基波、谐波的幅度cn(dn)以及相位

8、n(n)的大小取决于信