高级中学数学专栏评论练习学习进步题集

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1、\高考等差、等比数列及其应用【考纲要求】1．考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题．2．考查运用数列知识解决数列综合题的能力．【课程类型】一对一个性化教学【教学建议】数列是高中的重要内容，考试说明中，等差、等比数列都是C级要求，因而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想．填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题．因此希望同事们多研究全国各省市高考题，精选精练，让学生学有所获，学有所

2、思，学有信心，克服数列难的思想。【复习指导】1．熟练等差数列与等比数列的基本运算．2.数列中与之间的互化关系也是高考的一个热点.3．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等．基础练习1.已知是等比数列，，则=_____.[解析]数列仍是等比数列,其首项是公比为所以,\2.设，，，，则数列的通项公式=．[解析]数列是等比数列，则3．数列{an}满足a1＝2，a2＝1，并且＝(n≥2)，则数列{an}的第100项为.[解析]由已知可得：＋＝，n≥2，∴是等差数列，∴a100＝.一.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，

3、a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝________．[解析]　由c，a，b成等比数列可将公比记为q，三个实数a，b，c，待定为cq，cq2，c.由实数a、b、c成等差数列得2b＝a＋c，即2cq2＝cq＋c，又等比数列中c≠0，所以2q2－q－1＝0，解一元二次方程得q＝1(舍去，否则三个实数相等)或q＝－，又a＋3b＋c＝a＋3aq＋＝－a＝10，所以a＝－4.5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝_______.[解析]本小题主要考查数列前n项和Sn与通项an的关系，解题的突破口是用an表示Sn.由Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－

4、Sn)得Sn＋1＝Sn，所以{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，所以Sn＝.\考向一　等差数列与等比数列的综合应用【例1】设数列的前项和为已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式.解：（I）由及，有由，．．．①　则当时，有．．．．．②②－①得又，是首项，公比为２的等比数列．（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列．，第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找．第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．【巩固练习】1．已知等比数列{an}的公比q＝－.(1)若a3＝，求数列{an}的前n项

5、和；(2)证明：对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．解：(1)由a3＝a1q2＝及q＝－，得a1＝1，所以数列{an}的前n项和Sn＝(2)证明：对任意k∈N＋，\2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)，由q＝－得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.所以，对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．2．设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项. 解：（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，

6、又由得，解得，所以的通项公式为，前项和。（二），令，，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m因为是奇数，所以可取的值为，当，时，，，是数列中的项；，时，，数列中的最小项是，不符合.所以满足条件的正整数..考向二　数列与函数的综合应用【例2】．在数1和100之间插入个实数，使得这\个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前项和.解：（I）设构成等比数列，其中则①②①×②并利用（II）由题意和（I）中计算结果，知另一方面，利用得所以本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综

7、合运算能力和创新思维能力.【巩固练习】设函数f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，则a1＋a2＋…＋a7＝_________[解析]记公差为d，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋(a1＋a2＋…＋a7)－7＝(a4－3d－3)3＋(a4－2d－3)3＋…＋(a4＋2d－3)3＋(a4＋3d－3)3＋7a4－7＝7(a4－3)3＋7×3(a