等比数列的前n项和（1）

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1、等比数列的前n项和（1）【学习目标】1.探索并掌握等比数列的前n项和公式；学会用公式解决一些简单问题。2.掌握从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力。【课前导学】1.在等比数列{an}中，a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是2．在等比数列{an}中，已知a5=－2,则这个数列的前9项的乘积等于3．2，x,y,z,162是成等比数列的五个正整数，则z的值等于【答案】（1）4；（2）－512；（3）54【课堂活动】一、建构数学1.等比数列的前n项的和【注意】（1）证法：错位相减法（2）当q=

2、1时，等比数列的前n项和公式为，应用求和公式时，必要时应讨论的情况．（3）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（4）如果已知a1,an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个（5）当ｑ≠１时，当时｛｝是等比数列。二、应用数学1、五个量，知三个量，就可以求余下的两个量【例1】　在等比数列｛an｝中，（１）已知＝－4，＝12，求；（２）已知＝１，＝243，＝3，求．【解】（1）根据等比数列的前ｎ项和公式，得（2）根据等比数列的前ｎ项和公式，得【解后反思】在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有，ｄ，ｎ

3、，，五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量．合理使用用种形式，优化过程【例2】（1）在等比数列｛an｝中，，求an.（2）等比数列｛an｝中，a3=7,前3项之和S3=21,求公比q的值【解】（1）若ｑ＝１，则Ｓ６＝２Ｓ３，这与已知是矛盾的，所以ｑ≠１．从而将上面两个等式的两边分别相除，得所以ｑ＝２，由此可得，因此（2）若ｑ＝１，a3=7，S3=21=，满足题意；ｑ≠１．从而，将上面两个等式的两边分别相除，解得。综上，公比q为1或－【解后反思】（1）利用等比数列前n项的和公式解题时，要q=1与（2）

4、第二小题定义解题则不用讨论。将上面两个等式的两边分别相除，解得1或－2、整体代换【例3】在等比数列｛an｝中，a1+an=66,a2·an－1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.【解】∵a1an=a2an－1=128,又a1+an=66,∴a1、an是方程x2－66x+128=0的两根，解方程得x1=2,x2=64,∴a1=2,an=64或a1=64,an=2,显然q≠1.若a1=2,an=64,由=126得2－64q=126－126q,∴q=2,由an=a1qn－1得2n－1=32,∴n=6.若a1

5、=64,an=2,同理可求得q=,n=6.综上所述，n的值为6，公比q=2或.【解后反思】利用解本题的关键是利用a1an＝a2an－1，列方程组是求解的常用方法.进而求出a1、an，要注意a1、an是两组解.【例4】.一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比及项数.【解】设此数列的公比为q,项数为2n.由题意得：q=2,2n=8故此数列的公比为2，项数为8.【例5】已知等比数列｛an｝的各项均为正数，Sn＝80，S2n＝6560，且在前n项中最大项为54，求

6、此数列的公比q和项数n.【解】由S2n≠2Sn知，q≠1根据已知①②②÷①得：1＋qn＝82，即qn＝81③∴q＞1则a1qn－1＝54④③÷④得:，即a1＝q⑤将③、⑤代入①得q＝3∴n＝4三、理解数学1.知识点：数列的前n项的和的二种形式及使用前提2.数学思想与方法：方程思想，整体代换；错位相减。3.检测：（1）求下列等比数列的各项和：①１，３，９，…，2187；②１，，，，…，.(2)等比数列｛an｝的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是(3)已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于

7、1，则前8项之和等于【答案】（1）①3280；②；(2)211；（3）17【课后提升】1.必做题：课本P52练习1-42.选作题：苏大测试反馈18