法向量求二面角李耀明

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1、平面法向量在立体几何中的应用——利用法向量求二面角(一)平面的法向量的定义：n如果n,那么向量n叫做平面的法向量1、利用平面法向量求直线与平面所成的角：直线与平面所成的角等于平面的法向量所在的直线与已知直线的夹角的余角。（二）平面法向量的应用如图：直线AB与平面所成的角=(=)2ABCn2、利用平面法向量求二面角的大小求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小mn如图：二面角的大小等于-2、利用平面法向量求二面角的大小如图：二面角的大小等

2、于mn指入、指出平面的法向量的夹角的大小就是二面角的大小。例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-N的大小AD1C1B1A1NMFEDCB(2)AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（1）建系如图所示，设正方体棱长为2,则M（0，1，2）F（1，2，0）E（2，1，2）N（1，2，2）则MF=（1,1，-2）NF=（0，0，-2）EF=（-1，1，-2），设平面ENF的法向量为n=(x,y,z),EFn=0NFn=0{-x+y-2z

3、=0-2z=0则{{x=yz=0令x=y=1,则n=(1,1,0)2AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（2）建系如图，由（1）得：面ENF的法向量为n=（1，1，0），又MF=（1，1，-2）EF=（-1，1，-2）设面EMF的法向量为m=（x,y,z)，则{MF.m=0EFm=0{x+y-2z=0-x+y-2z=0{x=0y=2z令z=1,则m=(0,2,1)cos=10/5由题意可知，所求二面角为锐角，故所求二面角的大小为arccos(10/5)练习2:练习2:小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成

4、角：3.二面角：关键：观察二面角的范围（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（化为向量问题或向量的坐标问题）（进行向量运算）（回到图形）谢谢指导—富源一中李耀明