例谈数形结合在高数解题中的应用

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1、第１６卷第６期高等数学研究Vol．１６，No．６２０１３年１１月STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSNov．，２０１３例谈数形结合在高数解题中的应用宋洪雪，丁秀梅，郦志新（南京邮电大学理学院，江苏南京２１００２３）摘要通过微分中值的等式证明、求渐近线方程、定积分中的换元法、几何图形的描绘以及曲线积分的计算等例题，说明将代数运算或证明与几何直观相结合给解高等数学问题带来的好处．关键词数形结合；微分；积分；对称性中图分类号O１７２．２；G６４２．４文献标识码A文章编号　１００８‐１３９９（２０１３）０６‐００３０‐０４

2、数学是研究数量关系和空间形式的科学，数与１２（b－c）f″（ξ２）（c＜ξ２＜b），２形的关系是非常密切的．把数形结合起来，能够把数两式相加得学题目中的一些抽象的数量关系化为适当的几何图形，在具体的几何图形中寻找数量之间的联系，由此f（a）＋f（b）＝２f（c）＋可以达到化难为简、化繁为易的目的．同时，应用数１２f″（ξ１）＋f″（ξ２）（b－a），４２形结合法，通过图形性质的分析，使数学中的许多抽由达布中值定理得象的概念及定理直观化、形象化、简单化，并借助代２a＋b（b－a）数的计算和分析得以严谨化．下面我们将从两个方f（a）－２

3、f（）＋f（b）＝f″（ξ）２４面来说明数形结合思想在解题中的应用．ξ∈（ξ１，ξ２）炒（a，b）．换个角度思考．这个题涉及到函数的二阶导数，1函数与图形的对应关系而一元二次函数的二阶导数是常数，不妨构造一个高等数学中有许多习题虽然有常规解法，但若一元二次函数y＝g（x），使其满足采用数形结合将数学知识形象化，将函数与图形结４a＋bg″（x）＝２f（b）＋f（a）－２f（），合起来，会使求解过程简化，并能帮助我们认清知识（b－a）２背后的联系，下题就是一例．且抛物线y＝g（x）与函数y＝f（x）的图形有三个［１］点重合，从而可得以下

4、证法．例１设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内二次可导，证明存在ξ∈（a，b），使得证法２　令c＝a＋b，作过三点（a，f（a）），２２a＋b（b－a）f（b）＋f（a）－２f（２）＝f′（ξ）４．（c，f（c）），（b，f（b））的抛物线这是一道泰勒公式题，常规做法如下．（x－b）（x－c）y＝g（x）＝f（a）＋（a－b）（a－c）a＋b证法１　记c＝，将f（x）在x＝c处一阶２（x－c）（x－a）（x－a）（x－b）f（b）＋f（c），（b－c）（b－a）（c－a）（c－b）泰勒展开，分别取x＝a，x＝b，可得另记f（

5、a）＝f（c）＋f′（c）（a－c）＋F（x）＝f（x）－g（x），１２２（a－c）f″（ξ１）（a＜ξ１＜c），对辅助函数F（x）在［a，b］上使用两次罗尔定理知，f（b）＝f（c）＋f′（c）（b－c）＋存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）＝g″（ξ）＝收稿日期：２０１２‐０９‐１３；修改日期：２０１３‐０９‐０６４基金项目：南京邮电大学教改项目（JG００７１３JX３０，JG００７１１JX４０）２［f（a）＋f（b）－２f（c）］，（b－a）作者简介：宋洪雪（１９７７－），女，辽宁西丰人，硕士，讲师，从事非线性所以动力系统研究．E

6、mail：songhx＠njupt．edu．cn２丁秀梅（１９７４－），女，江苏姜堰人，硕士，讲师，从事计算机f″（ξ）（b－a）＝f（b）＋f（a）－２f（a＋b）．４２应用研究．Email：dingxm＠njupt．edu．cn郦志新（１９６３－），男，江苏丹阳人，副教授，从事密码学研证法１需要使用泰勒公式和达布定理，而证法２究．Email：lizx＠njupt．edu．cn只需要罗尔定理就足够了，孰易孰难显而易见．所以第１６卷第６期宋洪雪，丁秀梅，郦志新：例谈数形结合在高数解题中的应用１３π０学数学不能只是背题型，善于将数形结

7、合起来，往往２π∫０f（sinx）dx＝－∫πf（sin（２－t））dt＝有助于简化证明或运算过程．２ππ例２　求曲线２２∫f（cost）dt＝∫f（cosx）dx．００１y＝f（x）＝xln（e＋）（x＞０）x另设x＝π－t，则有π０的渐近线方程．∫πf（sinx）dx＝－∫πf（sin（π－t）dt＝解法１　易知曲线在（０，＋∞）内没有铅直和水２２π２平渐近线．因为∫f（sinx）dx，０f（x）１lim＝limln（e＋）＝１，所以x→＋∞xx→＋∞xπ１∫f（sinx）dx＝lim［f（x）－x］＝lim［xln（e＋）－x

8、］＝０x→＋∞x→＋∞xππ２ln（１＋１）１∫０f（sinx）dx＋∫πf（sinx）dx＝exex１２lim＝lim＝，πx→＋∞１x→＋∞１e２２∫f（sinx）dx．xx０故所给曲线的斜渐近线为第一个积分公式的证明过程可解释为