【教学设计】《球》（北师大版）

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1、《球》◆教材分析本课是北师大版普通高中数学必修二第一章第七节的内容。空间几何初步是初等几何教学的重要的内容之一，它是在初中平面几何的学习基础上开设的，通过对球的观察，只需要求学生会应用球的表面积和体积公式，不用记忆球的表面积和体积公式的推导和证明。◆教学目标【知识与能力目标】理解球的截面、球的切线的性质，并能进行简单的计算；了解球的体积和表面积公式，并能运用公式计算球的体积与表面积；能运用公式解决与球有关的简单组合体的表面积和体积问题。【过程与方法目标】培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。【情感态度价值

2、观目标】 帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。◆教学重难点◆【教学重点】运用公式计算球的体积与表面积。【教学难点】运用公式解决与球有关的简单组合体的表面积和体积问题。◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。◆教学过程一、导入部分圆柱、圆锥、圆台，它们分别由矩形、直角三角形、直角梯形旋转而成的。那么球是由什么图形旋转得到的呢？二、研探新知，建构概念、电子白板投影出上面实例。、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。（）球的截

3、面用一个平面去截半径为的球的球面得到的是圆。有以下性质：①若平面过球心，则截面圆是以为圆心的球的大圆。②若平面不过球心，如图，设′⊥α，垂足为′，记′＝，对于平面α与球面的任意一个公共点，都满足′⊥′，则有′＝R2-d2，即此时截得的圆是以′为圆心，以＝R2-d2为半径的球的小圆。（）球的切线①定义：与球只有唯一公共点的直线叫作球的切线。如（）图，为球的切线，为切点。②性质：（①）球的切线垂直于过切点的半径；（②）过球外一点的所有切线的长度都相等。如（）图，，为从点引到球的切线，则＝.（③）从球外一点引球的切线，切线与圆面′(过，两

4、点的圆面)构成一个圆锥。（）球的表面积与体积公式前提条件球的半径为表面积公式＝π体积公式V=43πR3三、质疑答辩，发展思维、举例：一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积为多少？解析：长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R=12+22+32=14，所以球的表面积＝π＝π.答案：π[来源][来源:学,科,网]、思考：如何求球的表面积和体积？解：要求球的体积或表面积，必须知道半径或者通过条件能求出半径，然后代入体积或表面积公式求解。注意：半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计

5、算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了。思考：如何解决球与其他几何体外接或内切问题？解：()处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系。一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等。()解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”或“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算。、例题例若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比。解:设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，球的半径为，则由题意得

6、13πr2h=43πR3r=2R∴13π(2R)2h=43πR3，∴＝，＝，∴l=r2+h2=5h，∴圆锥侧＝π＝π××5h＝5π，球＝π＝π，∴S圆锥侧S球=25πh24πh2=52.例某几何体的三视图如图所示，则它的体积为多少？解：由三视图可知是一个由一个半球和倒立的圆锥组成的几何体。＝13π××＋12×43π×＝π。、巩固练习（）把球的表面积扩大到原来的倍，那么体积扩大为原来的(　　)倍　2倍.2倍2倍解析：设改变前、后球的半径分别是，′，则由条件可知π′＝×π。∴′＝2，′＝4πr’33=22×4πr33。答案：　()一个半

7、球的表面积为，则相对应的此球的半径应为(　　).13π.3π.3π3π.33π3π解析：表＝π＋π＝，∴＝3π3π。答案：()一个高为的圆锥内接于一个体积为π的球，在圆锥内又有一个内切球。求：①圆锥的侧面积；②圆锥内切球的体积。解析：①如图所示，作出轴截面，则等腰三角形内接于圆，而圆内切于△。设圆的半径为，则有43π＝π，所以＝，＝，所以＝。又因为＝，所以＝.连接，因为是直径，所以⊥，＝·＝×＝，所以＝2。因为⊥，所以＝·＝×＝，＝2。所以圆锥侧＝π×2×2＝π。②设内切球的半径为，因为△的周长为×(2＋2)＝2，所以△＝12×2＝

8、r2×2×，所以＝.所以内切球的体积球＝43π＝2563π。四、课堂小结：（）球的截面用一个平面去截半径为的球的球面得到的是圆。有以下性质：①若平面过球心，则截面圆是以为圆心的球的大圆。②若平面不过球心，如图，设′⊥α，垂足为′，记′