[工学]傅里叶级数

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1、第三章周期信号的傅里叶级数分析2.LTI系统对复指数信号的响应两个性质：1．由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信导；2．LTI系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，以使得系统对任意输人信号的响应有一个很方便的表示式。现考虑一个单位冲激响应为h(t)的连续时间LTI系统。对任意输入x(t)，可由卷积积分来确定输出，若，则有系统对的响应就为：这样一个事实，即：一个LIT系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化：连续时间：这且H(s)是—个复振幅因子，一般来说是复变量s的函数。一个信号，

2、若系统对该信号的输出响应仅是一个常数(可能是复数)乘以输入，则称该信号为系统的特征函数，而幅度因子称为系统的特征值。更为一般的信号根据叠加性质若一个连续时间LTI系统的输入表示成复指数的线性组合，即那么输出就一定是例3.1考虑输入x(t)都输出y(t)是一个延时为3的LTI系统，即若该系统的输入是复指数信号求其特征值。由已知有：有关的特征值是：根据已知，该系统的单位冲激响应是所以3.连续时间周期信号的傅里叶级数表示3．1成谐波关系的复指数信号的线性组合如果一个信号是周期的，那么对t，存在某个正值T，有x(t)的基波周

3、期就是满足上式的最小非零正值T，而成为基波频率。与上式有关的成谐波关系的复指数信号集就是k=0,+-1,+-2,……一个由成谐波关系的复指数线性组合形成的信号一次谐波分量、二次谐波分量。。。。。。例3.2有一周期信号，其基波频率为，形式如下：求其各次谐波分量其中转例3.16再利用欧拉公式可写成上式其实就是实周期信号傅里叶级数的另一种表现形式。3．2连续时间周期信号傅里叶级数表示式的确定需要一种办法来确定这些系数利用正弦、余弦周期函数的积分特性，有x(t)的频谱系数综合公式：分析公式：(3.38)(3.39)就是x(t)

4、中的直流或常数分量在—个周期内的平均值例3.3考虑信号其基波频率为，确定该信号的傅里叶级数系数。解：方法1：是利用(3．39)式求解；方法2：这样简单的情况下，只要将直接展开成复指数的线性组合，就能凭直观确定傅里叶级数的系数，即表示成与(3.38)式进行比较可得例3.3令求该信号的傅里叶级数系数解：将上式直接展开成复指数形式有将相应项进行归并可得由此可得该信号的傅里叶级数系数为用条线图表示出了傅里叶级数系数的幅度和相位例3.5一周期性方波，在一个周期内定义如下：该信号的基波周期是T，基波频率就为。现在来确定的傅里叶级数

5、系数。首先对k＝0有它代表信号的平均值。其次对k不等于0有：返回例3.6对于固定和几个不同的T值时，周期性方波傅里叶级数系数的图4.傅里叶级数的收敛狄里赫利条件：条件1：在任何周期内，必须绝对可积，即，与前面讲的平方可积条件相同，这一条件保证了每一个系数是有限值。条件2：在任意有限区间内，具有有限个起伏变化；也就是说，在任何单个周期内，该信号的最大值和最小值数目有限。条件3：在的任何有限区间内，只有有限个不连续点，且在这些不连续点上，函数是有限值。例3．5下列信号是否满足狄里赫利条件：吉布斯现象5.连续时间傅里叶级数性

6、质性质1：线性性质2：时移性质性质3：时间反转性质4：时域尺度变换是一周期信号，周期为T，基波频率博里叶级数系数记作性质1：线性若、为两个周期信号，周期为T，它们的傅里叶级数系数分别为和，即性质2：时移性质当给—个周期信号x(t)以某个时移时，该信号的周期T保持不变，所得到的信号的傅里叶级数系数可以表示为令这个性质说明：当一个周期信号在时间上移位时，它的傅里叶级数系数的模保持不变。即若那么性质3：时间反转当一个周期信号经过时间反转后，其周期T仍然保持不变，为了确定的傅里叶级数系数作变量代换k=-m那么，我们得到如下结论

7、：时间反转性质的一种结果是：若为偶函数，即，则其博里叶级数系数也为偶，即若为奇函数，即，则其傅里叶级数系数也为奇，即性质4：时域尺度变换要强调的是，虽然博里叶系数没有改变，但由于基波频率变化了，博里叶级数表示却改变了。性质5：共轭及共轭对称性对于为实函数若信号为实且为偶函数，那么它的傅里叶级数系数也为实且为偶函数；.若信号为实且为奇函数，那么它的傅里叶级数系数为纯虚数且为奇函数。例3.6有一信号，基波周期是4，如图所示。求其傅里叶级数的系数。解：方法1：用分析公式(3.39)式直接求解。方法2：利用与例3.5中对称周期

8、方波的关系来求。1/2链接例3.5利用了傅里叶级数的时移性质，傅里叶级数的的线性性质.例3.7考虑一周期为T＝4的三角波信号，其基波频率，如图所示。求该信号的傅里叶级数的系数。根据傅里叶级数的微分性质，e0的物理含义。6.傅里叶级数与LTI系统称该系统的系统函数当称该系统的频率响应这就是说，LTI系统的作用就是通过乘以相应频率点上