chapter6有限元分析中的单元性质特征与误差处理

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1、第六章有限元分析中的单元性质特征与误差处理山东理工大学交通学院李红艳6.1单元节点编号与带宽存储6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质6.3边界条件的处理与支反力计算6.4单元刚度矩阵的缩聚6.5为以函数构造与收敛性要求6.6C0型单元与C1型单元6.7单元的拼片试验6.8有限元分析数值解的精度与性质6.9单元应力的计算结果的误差与平均处理6.10控制误差和提高精度的h方法和p方法6.1单元节点编号与带宽存储计算机进行有限元分析时，需要存储所有单元和节点信息，随着所求解问题自由度的增大，计算规模的增大，整体刚度矩阵的规模非常巨大。由于整体刚度矩阵中显现出相邻单元之间的关联性，因

2、此矩阵中的大部分数据都为零，反映非零数据的一个指标就是带宽。由于刚度矩阵是对称的，可以看出，若节点的自由度数目为m，则每一个单元在整体刚度矩阵的半带宽为di=（第i个单元中节点编号的最大差值+1）＊md=max（di）（i=1，2……n）其中n为整个结构系统的单元数。显然对于二维问题，m=2对于三维问题，m=36.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质以一维杆单元为例，杆单元的位移场为形函数矩阵1、左端发生单位位移，右端固定2、右端发生单位位移，左端固定3、发生刚体位移6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质仍然以一维杆单元为例，它的刚度方程为1、考虑单元左端发生单位位移，右端固定情况2

3、、考虑单元右端发生单位位移，左端固定情况3、考察刚体位移性质1：单元刚度矩阵的对角元素kii表示要使单元的第i个节点产生单位位移，而其它的节点位移为0时，需要在i点施加的节点力。性质2：单元刚度矩阵的对角元素kij（i≠j）表示要使单元的第j个节点产生单位位移，而其它的节点位移为0时，需要在i点施加的节点力。性质3：单元刚度矩阵是对称的。这可以由功的互等定理得到。对于线弹性体，力所做的功跟加载次序无关，这可以利用上面的性质1和2得到。第一种加载状态第二种加载状态第一种加载状态下的外力在第二种加载状态下移动相应位移做的功为第二种加载状态下的外力在第一种加载状态下移动相应位移做

4、的功为根据功的互等定理，可以得到结论：刚度矩阵是对称的。性质4：单元刚度矩阵是半正定的。性质5：单元刚度矩阵是奇异的。性质6：单元刚度矩阵的任意行或列代表一个平衡力系，当节点位移全部为线位移时，任意行或列的代数和应该为0。同样，由单元刚度矩阵所组装的整体刚度矩阵也有以下性质：1）对称性2）奇异性3）半正定性4）稀疏性5）非零元素呈现带状分布6.3边界条件的处理与支反力的计算位移边界条件在大多数情况下有两种类型。1、零位移边界条件2、给定具体数值的位移边界条件根据上述两类边界条件，刚度方程的求解有以下几种方法：1、直接法2、置“1”法3、乘大数法4、罚函数法直接法1、既可以处

5、理零约束，又可以处理非零约束的情况。2、处理过程直观。3、待求矩阵的规模变小（维数变小），适合于手工处理。4、矩阵的节点编号及排序改变，不利于计算机的规范化处理。置“1”法1、只能处理零约束情况。2、待求矩阵的规模不变，不需重新排列，适合于计算机处理。3、保持整体刚度矩阵的对称性，利于计算机的规范化处理。直接法乘大数法1、既可以处理零约束，又可以处理非零约束的情况。2、待求矩阵的规模不变，不需重新排列。3、保持整体刚度矩阵的对称性，利于计算机的规范化处理。直接法罚函数法罚函数法的最大好处是可以直接求出位移边界上的支反力。支反力的计算：除了罚函数法能够求出支反力以外，其它的方

6、法都需要求解一定的方程得到。6.4单元刚度矩阵的缩聚采用高次位移函数的单元也常被称为高阶单元。对于高次单元来说，除了几何端点以外，其余的那些节点可能与其它的单元不发生关系，当中间的节点与其它单元无关时，我们称作是内部节点。而其余的节点是外部节点。既然内部节点与其他单元无关，那么在组成整体刚度之前，就可以把他们消去，也就是把内部节点的位移用外部节点的位移来表示。以一维三节点杆单元为例以一维三节点杆单元为例其中a代表的是外部节点，b代表的是内部节点。6.5位移函数构造与收敛性要求单元中的位移模式一般采用设有待定系数的有限多项式作为近似函数，优先多项式的选取原则应该考虑以下几个方

7、面：1、待定系数是由节点位移条件确定的，因此它的个数应该与节点位移DOF个数相等。2、在选取多项式时，必须选择常数项和完备的一次项。单元位移模式中的常数项和一次项可以反映单元的刚体位移合唱应变的特性。这是因为当划分的单元数趋于无穷时，即单元缩小趋于一点，此时单元应变趋于常数。3、选择多项式应该由低到高，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。因此，在构造一个单元的位移函数时，应该参考由多项式函数构成的Pascal三角形和上述原则进行函数项次的选取与构造。收敛性问题在有限元分析中，当节点数目或单元插值函数的项数趋于无穷大