专题11 数列（2）-2010-2019学年高考新课标全国I卷数学（文）真题分类汇编（解析版）

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1、专题11：数列（2）数列大题：10年8考，若解答题考数列大题，则解三角形题一般考一道小题，若解答题考解三角形大题，则数列一般考两道小题．数列一般考查通项、求和．数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降低，题目难度小．1．（2019年）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．【解析】（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4

2、d＝0，若a3＝4，则d＝＝﹣2，则an＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若Sn≥an，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1，又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）≥﹣2a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n

3、1≤n≤10，n∈N}．2．（2018年）已知数列{an}满足a1＝1，nan+1＝2（n+1）an，设bn＝．（1）求b1，

4、b2，b3；（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{an}的通项公式．【解析】（1）数列{an}满足a1＝1，nan+1＝2（n+1）an，则：（常数），由于，故：，数列{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）数列{bn}是为等比数列，由于（常数）；（3）由（1）得：，根据，所以：．3．（2017年）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否

5、成等差数列．【解析】（1）设等比数列{an}首项为a1，公比为q，则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1＝＝，a2＝＝，由a1+a2＝2，+＝2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2，则a1＝﹣2，an＝（﹣2）（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，∴{an}的通项公式an＝（﹣2）n；（2）由（1）可知：Sn＝＝＝[2+（﹣2）n+1]，则Sn+1＝[2+（﹣2）n+2]，Sn+2＝[2+（﹣2）n+3]，由Sn+1+Sn+2＝[2+（﹣2）n+2][2+（﹣2）n+3]，＝[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（

6、﹣2）2×（﹣2）n+1]，＝[4+2（﹣2）n+1]＝2×[（2+（﹣2）n+1）]，＝2Sn，即Sn+1+Sn+2＝2Sn，∴Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．4．（2016年）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn+1+bn+1＝nbn．（1）求{an}的通项公式；（2）求{bn}的前n项和．【解析】（1）∵anbn+1+bn+1＝nbn．当n＝1时，a1b2+b2＝b1．∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2，又∵{an}是公差为3的等差数列，∴an＝3n﹣1，（2）由（

7、1）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1＝nbn．即3bn+1＝bn．即数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{bn}的前n项和Sn＝＝＝．5．（2014年）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解析】（1）方程x2﹣5x+6＝0的根为2，3．又{an}是递增的等差数列，故a2＝2，a4＝3，可得2d＝1，d＝，故an＝2+（n﹣2）×＝n+1，（2）设数列{}的前n项和为Sn，Sn＝，①Sn＝，②①﹣②得Sn＝＝

8、，解得Sn＝＝2﹣．6．（2013年）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝﹣5．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解析】（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d，则．由已知可得，即，解得a1＝1，d＝﹣1，故{an}的通项公式为an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）•（﹣1）＝2﹣n；（2）由（1）知．从而数列{}的前n项和Sn＝＝．7．（2011年）已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝．（1）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；（2）设bn＝log3a1+

9、log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．【解析】（1）∵数列{an}为等比数列，a1＝，q＝，∴an＝×＝，Sn＝，又∵＝＝Sn，∴Sn＝．（2）∵an＝，∴bn＝log3a1+log3a2+…+log3an＝﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）＝﹣（1+2+…+n）＝，∴数列{bn}的通项公式为：bn＝．8．（2010年）设等差数列{an}满足a