[教育学]夜大《高数》d专升本第一部分无穷级数

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1、D上海大学数学系王培康高等数学1高等数学D本课程教学内容第七章无穷级数(第六节不要求)第八章微分方程(第七节不要求)第十章多元函数微分学(第六、七节不要求)第十一章重积分(第三节不要求)本课程考核方式1.期末考试(半开卷，占总评成绩70%)2.平时考勤记录(占总评成绩30%)2高等数学D第七章无穷级数3高等数学D无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种有力工具.(常)数项级数级数幂级数函数项级数正项级数任意项级数傅里叶级数(交错级数)4高等数学D第一节无穷级数的基本概念和性质一、无穷级数的基本概念定义:称为常数项无穷级数,简称常数项级数,设给定一

2、个数列问题:(即有没有和数)其中un称为级数的一般项(或通项).或无穷级数,或级数.5高等数学D2.部分和数列一数列中有限项相加总是有和数的,无限项相加是否有和数?可能有,也可能没有.如何研究它?通过有限项之和去认识和研究无限项之和.定义:级数前n项之和:组成的数列称为级数的部分和数列.6高等数学D部分和数列{Sn}：显然,7高等数学D发散的级数没有和.极限值S称为级数的和.3.级数的收敛和发散定义：(C)(D)8高等数学D其差值rn=称为级数的余项.9高等数学D讨论等比级数(几何级数)的敛散性：例1.解:10高等数学D11高等数学D解:∴原级数(D)例2.12高等数学D例3.解:∴原级数(

3、C)13高等数学D二、级数的基本性质性质1.k是常数,证:证毕14高等数学D推论:性质1.k是常数,15高等数学D性质2.收敛级数可逐项相加减.设有两个收敛级数推论:16高等数学D由性质2：矛盾！推论:(C)+(D)=>(D)证:(C)+(C)=>(C)17高等数学D两个发散级数逐项相加减后的情况不定.如:18高等数学D在级数前加上或去掉或改变有限项,不影响级数的敛散性,但收敛时其和会改变.∴(C),例:性质3.(C)(C)19高等数学D收敛级数对其项任意加括号后所组成的级数仍然收敛,且其和不变.证:部分和为Sn,性质4.按某一规律加括号后的级数:证毕该性质可理解为收敛的级数满足加法结合律.

4、20高等数学D发散级数加括号后所成级数不一定发散.注1.例:(D)(C)加括号后所成的级数发散,3.则原级数也发散.甚至,对一个发散的级数,若按不同的方式加括号,所得的级数可能收敛于不同的和.发散的级数不满足加法结合律.收敛于0,加括号后所得的级数(D)添加了括号后所得的级数收敛并不能保证原来的级2.例:数收敛.而原来的级数21高等数学D性质5.证:(级数收敛的必要条件)说明22高等数学D∴级数发散.例2:证明调和级数发散.证:(反证)此时解:23高等数学D但矛盾!24高等数学D课外作业习题7–1(第173页)4(1,2,3)25高等数学D习题7-1(第173页)4.判断下列级数的敛散性:级

5、数为等比级数,公比为级数收敛;级数发散.26高等数学D4.判断下列级数的敛散性:等比级数的公比为则由性质1知原级数收敛.等比级数的公比为27高等数学D4.判断下列级数的敛散性:则由级数收敛的必要条件知原级数发散.28高等数学D1.定义:许多级数敛散性的判断都可以归结为正项级数的敛散性的判断.第二节正项级数29高等数学D2.正项级数收敛的充要条件证:收敛数列必有界,定理:(C)证毕30高等数学D如:有界无界则其必发散.31高等数学D3.审敛法（判别法）比较审敛法:设有两个正项级数(C),(C).(1)(2)(D),(D).则（大的收敛则小的也收敛）（小的发散则大的也发散）32高等数学D证:(1

6、)(2)33高等数学D推论.即正项级数若从某项后满足比较审敛法的条件，仍得同样结果.结论同样成立;甚至上式只要在某个自然数后开始成立即可.34高等数学D(重要级数)证:35高等数学D证毕36高等数学D因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较,等比级数P--级数所以必须掌握一些已知敛散的级数.常用:调和级数(D)37高等数学D例1.判别下列正项级数的敛散性:(1)解:38高等数学D(2)解:39高等数学D(3)解:40高等数学D比较审敛法的极限形式:设正项级数41高等数学D例2：判别前例中级数(1),(2)的敛散性：∴原级数收敛.解:42高等数学D∴原级数发散.解:43高等数学D解:例3:判别级

7、数的敛散性:∴原级数发散.44高等数学D解:∴原级数收敛.45高等数学D解：∴原级数收敛.46高等数学D比值审敛法（达朗贝尔判别法）设正项级数则当敛散性不定47高等数学D解:∴原级数收敛.例1:判别下列正项级数的敛散性:48高等数学D解:∴原级数收敛.=49高等数学D(3)解:由此题结论还可得:50高等数学D前面介绍的判别正项级数敛散性的比较、比值审敛方法，它们都是充分条件。如果用它们无法判断该正项级数敛散性