[理学]多元函数微分学习题课

《[理学]多元函数微分学习题课》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七章习题课主要内容典型例题平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极限运算多元连续函数的性质多元函数概念主要内容全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性微分法在几何上的应用方向导数多元函数的极值全微分概念偏导数概念一、基本概念连续性偏导数存在方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续定义域及对应法则求极限及判断极限不存在的方法函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系问题：1求极限，判断函数极限存在性2、函数连续性、偏导数存在性、可微性的判别例1解注意:在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,的

2、变化应该是任意的.例2.讨论在点处的连续性，偏导数的存在性及可微性.解由于当时，故所以偏导数可微性因此由于故二、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“链式法则”注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性问题：求偏导数、高阶偏导数(多元复合函数、隐含数求导方法)例3解P92例1-例9(P92.1)求在点处可微,且设函数解:由题设(P92.2)解于是可得,（P934.）设求解①②利用行列式解出du,dv：(P94.6)代入①即得代入②即得三、多元函数

3、微分法的应用1.在几何中的应用求曲线的切线及法平面(关键:寻求切向量)求曲面的切平面及法线(关键:寻求法向量)2.极值与最值问题极值的必要条件与充分条件求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题3.在微分方程变形等中的应用1.2.3.解由于椭球面是一封闭曲面，因此椭球面上此最值即为椭球面方程所确定的隐函数的最大值与最小值.方程两边分别关于令解得代入椭球面方程得故得两点由于椭球面确实存在z坐标的最大与最小的点，因此设S是椭球面对于面的投影柱面，相同，为即例14.设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy坐标面其底部所在的区域为小山的高度函数为解沿梯

4、度方向的方向导数最大，且最大值等于梯度的模，由于故(2)现在此山开展攀岩活动，需在山脚寻找上山坡度最大点作为起点，试确定攀登起点的位置.解由题意知，要在底部区域D的边界线上寻找使达到最大的点.令，由题意，只需在约束条件设解得由于故皆可作为攀登起点.例15.证解得关系式故命题得证.P92.10.解.问题为在约束条件下，由于曲线为一条封闭曲线，因此坐标的最大与最小值肯定存在.设则有整理得由前三式得或代入后两式解得或因此坐标的最大值为4,最小值为2.作业P1022、5、6、7、11、15测验题测验题答案补充典型例题例1.已知求出的表达式.解法1令即解法2以下与解

5、法1相同.则且解法1解法2令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,例2.讨论二重极限时,下列算法是否正确?解法3令此法忽略了的任意性,极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.例4解2.已知求解:由两边对x求导,得6.设其中f与F分别具解方程两边对x求导,得有一阶导数或偏导数,求解法2方程两边求微分,

6、得化简消去即可得阶段练习解所以9.解.10.解而整理得因此10.解因此12.解解得解得13.例7.例6解分析:得14.解例4