[理学]线性代数电子教案

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1、线性代数主讲：郭智第四章线性方程组§1齐次线性方程组§2非齐次线性方程组§4－1加减消元法·消元法求解·解的存在性问题一、消元法设线性方程a11x1+a12x2+…+anxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2……………………………an1x1+an2x2+…+annxn=bn(1)系数矩阵行列式D=

2、A

3、0，根据在莱姆法则方程组有唯一解.可以用加减消元法求.加减消元:1)某个方程乘一个数加到另一个方程上2)某方程两边乘一个非零数.对方程组的上述变换，本质上是对其增广矩阵作初等行变换.A是满秩矩阵初等行变换单位矩阵后矩阵对应的方程组为原方程组的解

4、为例1.用消元法解线性方程组x12x2+x4=1，2x12x2+x34x4=6，2x1+2x2x3+x4=5，2x2+5x32x4=1.解：对增广矩阵A作初等行变换r32r1r22r1r4+2r2r33r2r1+r2r317r4得原方程组的解为二、线性方程组的解的存在性1.两个例子例1.x3+x4=52x1+x2x3+4x4=22x1+x2+x3+6x4=10解：方程组的增广矩阵为交换、行行(–2)+行行(–1)+行最后一个矩阵表示原线性方程经消元变成下面的方程组x3+x4=50=–2(4)最后一个方程0=–2是矛盾的

5、.说明原方程组无解.第二例是方程组x3+x4=52x1+x2–x3+4x4=22x1+x2+x3+6x4=12写出增广阵并做行的变换交换、行–2行加到行在上块为阶梯形，b2=0,则方程组有无限多解.事实上，写出对应于阶梯形矩阵的方程x3+x4=52.存在性定理线性方程组Ax=b的增广矩阵经加减消元法变成定理1.设有m个方程、n个未知数的线性方程组Ax=b(3)若方程组系数阵A的秩与增广阵的秩不相等，则方程无解.(1)(2)若方程组系数阵A的秩等于增广阵的秩且小于n,即r(A)=r(A)

6、阵的秩且等于n,即r(A)=r(A)=n,则方程组有唯一解；定理1是方程组有无解的判别定理，归于系数矩阵与增广矩阵的秩的讨论，上面两例子告诉我们如何应用定理1，判别方程的解存在性，解的个数.接下来讨论如何求方程组的解，以及如何表示方程组的解.§4－2齐次线性方程组的解的结构·基础解系·解的表示线性方程组的解有三种可能性：无解；有一个解；有无穷多解；对于无穷个解，如何表示它们，是这里要解决的问题，首先讨论一类特殊方程组–––齐次线性方程组，线性方程组(1)的常数项为零，即Ax=0(2)称为对应于(1)的齐次线性方程组.a11x1+a12x2+…+a1nxn

7、=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0……………………………am1x1+am2x2+…+amnxn=0由于其增广矩阵的最后一列为零,增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等，所以一定有解，显然是齐次方程组的解.当r(A)=n.(2)只有唯一的零解；当r(A)

8、(kx)=k(Ax)=0,所以kxS.(4)故S关于向量加法和数乘运算封闭,从而S是Rn的线性子空间.问题：1.S的维数是多少？2.S的基如何确定？例3.解方程组x3+x4=02x1+x2–x3+4x4=02x1+x2+x3+6x4=0(5)解:计算系数矩阵现在来研究无穷多解的表示的秩，作初等行变换.变换1,2行1行(–1)+3行2行(–2)+3行r(A)=2<4.(5)有无穷解.对应于阶梯形矩阵的方程组是x3+x4=0自下而上逐个解方程x3+x4=0最含两个未知数的不定方程，指定其中取值一个，另一个也随之确定，令x4=k1为任意常数，则x3=–x4=–

9、k1代入前一方程得整理仍为不定方程，令x2=k2为任意常数，则所求方程组的解为x2=k2x3=–k1x4=k1k1,k2为任意常数，写成向量形式(6)(6)是方程组(5)的所有解.无穷性体现在k1,k2取一组数，(6)得一个解。而k1,k2所取的数组是无穷的.k1=1,k2=0k1=0,k2=1(6)式的表示代表了齐次线性方程组的解的求法与表示的基本思想.针对(6)式有下述问题：(6)式中基e1,e2为2个向量，根据什么确定的？(6)式中2个向量e1,e2的个数是由2=4–r(A)向量的个数方程组未知数个数系数矩阵的秩e1,e2有特别的意义，(5)的所有的解，

10、由e1,e2两解通过(6)式而表示出来