§1二次型及其矩阵表

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1、§1二次型及其矩阵表示1.二次型的引入与定义考察在平面直角坐标系的二次曲线的形状．作坐标变换（坐标轴逆时针旋转得新坐标系则同一点P在新老两种坐标系下坐标之间的关系为：下方程为）若用向量语言即为（1）于是将（1）式代入原方程整理得即由此很容易判定该二次曲线为椭圆曲线.自然会问：从原坐标系到新坐标系的旋转角是如何确定的？本章正是从这个问题入手，引入“二次型”的概念及其化标准形的方法.给出这类问题统一的解决方新坐标系下方程如何容易求出？法.再看二次曲线的一般方程：该如何作坐标变换（如何选择旋转坐标轴的角度代数语言即如何寻

2、找满足要求的二阶方阵），使得从而判别原二次曲线的形状.其方程形如空间解析几何里面，在讨论二次曲面分类时，线性替换化简一个二次齐次多项式，使它只含有平也遇到向类似的问题，即将通过坐标轴旋转化为“标准型”（只含平方项，再通过平方项前面系数的符号就可判别这个二次曲面的大致上述问题，从代数的观点来看，就是用变量的方项．对于一般的二次齐次多项式，我们有如下定义：定义5.1（二次型）设P是一个数域，一个系数在数域P的二次齐次多项式称为数域P中一个n元二次型，简称二次型．2.线性替换为研究二次型，我们常常希望通过变量的线性替换化

3、简二次型，为此，我们引入“线性替换”：我们看到：称为由到的一个线性替换，定义5.2（线性替换）设是两组文字，系数在数域P中的一组关系式或简称线性替换．如果系数行列式那么该线性替换就称为是非退化的．线性替换也记为非退化线性替换即为其中注通常的坐标轴旋转是一种老坐标到新坐标的非退化的线性替换.（为什么？）二维的情形，若坐标轴逆时针旋转则但非退化的线性替换在几何上反映的并非都是坐标轴旋转（保持长度单位不变），情况很复杂．就是哪些线性替换对应坐标轴旋转，这将在后面的欧氏空间中加以讨论．3.二次型的矩阵令则二次型可写成其中且

4、A为对称矩阵称（对称阵）A为二次型f的矩阵.即例1.二次型的矩阵为命题1二次型和它的矩阵是相互唯一决定的．证明：给定一个对称阵显然由确定的二次型的矩阵为A.则且另一方面，若对称阵A和B均为二次型f的矩阵，即若4.二次型的变量替换设有从X到Y的非退化线性替换X=CY，将二次仍为关于的二次型.不妨设的矩阵为B，即则从而思考：为什么要考虑非退化的线性替换？一般的线性替换将二次型仍然变成二次型吗？定义5.3（合同，或称相合）数域P上n阶方阵A与B称为合同的（或相合），如果有数域P上n阶可逆阵C，使得命题2合同关系是一种等价

5、关系．即（反身性）A与自身合同；（传递性）若A与B合同，B与D合同，则A与D合同.（对称性）若A与B合同，则B与A合同；（反身性）（对称性）若A与B合同，（传递性）若A与B合同，B与D合同，即存在可从而B与A合同；从而A与D合同.证明：综上所述，对于二次型经过非退化线性替换X＝CY，将原二次型变为关于Y的二次型则A与B合同，反之，可以作非退化线性替换又可将“还原”成关于X的二次型这是因为这种“可逆”关系正是我们考虑非退化线性替换的原因，它保证了前后两个二次型性质的一致性.本节重点：1二次型的矩阵的写法，注意非平方项

6、.2方阵之间的合同关系.之间的关系.3二次型经过非退化线性替换前后两个对称阵