§2.3函数的单调性与最值

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1、山东金榜苑文化传媒集团步步高大一轮复习讲义函数的单调性与最值函数与方程抽象函数复合函数函数零点、二分法、一元二次方程根的分布单调性：同增异减赋值法函数的应用函数的基本性质单调性奇偶性周期性对称性最值1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性.2.复合函数单调性：同增异减.1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x).2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0.3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立.f(x+T)=f(x)；周期为T的奇函数有：f(T)=f(T/2)=f(0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、

2、利用单调性、数形结合等.函数的概念定义列表法解析法图象法表示三要素观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等定义域对应关系值域函数常见的几种变换平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.基本初等函数正(反)比例函数;一次(二次)函数;幂、指、对函数;定义、图象、性质和应用函数常见函数模型幂、指、对函数模型；分段函数；对勾函数模型忆一忆知识要点1．函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2当x1

3、x2时，都有__________,那么函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是______自左向右看图象是_____f(x1)f(x2)上升的下降的(1)单调函数的定义忆一忆知识要点2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有_________；(2)存在x0∈I,使得_________.(3)对于任意x∈I,都有__________；(4)存在x0∈I,使得__________.结论M为最大值M为最小值(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是_______或________,则称函数f(x)在

4、这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间．增函数减函数区间Df(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M设函数y＝f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.忆一忆知识要点①任取x1,x2∈D,且x1

5、判号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负)；⑤定论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．(1)利用单调性定义(证明函数f(x)在给定的区间(先判断定义域）D上的单调性的一般步骤)2.函数的单调性的判定方法：忆一忆知识要点①k＞0时,函数y=f(x)与y=kf(x)+b具有相同的单调性；若函数f(x),g(x)在给定的区间D上具有单调性,②若f(x)恒为正或恒为负时,函数f(x)与1/f(x)具有相反的单调性.③若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.⑤复合函数f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定(同则增异则减).④奇函

6、数在对称的区间上有相同的单调性,偶函数在对称的区间上有相反的单调性.(2)常见函数的单调性规律总结忆一忆知识要点☞以上规律还可总结为：“同增异减”.增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗增↗减↘复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下：⑤复合函数单调性的判断注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间忆一忆知识要点2.函数的单调性的判定方法：(3)导数法①若f(x)在某个区间内可导，当f'(x)＞0时,f(x)为增函数；当f'(x)＜0时，f(x)为减函数.②若f(x)在某个区间内可导，当f(x)在该区间上递增时，则f'(x)≥0；当f(x)

7、在该区间上递减时，则f'(x)≤0.忆一忆知识要点题号答案12345CA函数单调性的判断及应用(1)证明函数的单调性用定义法的步骤是:取值—作差—变形—确定符号—下结论.(2)利用导数证明的一般步骤为：求导，判断导函数在区间上的符号，下结论．导数法是比较常用的一种方法．求函数的单调区间求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义