相似形及比例线段(提高) 知识讲解

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1、相似形和比例线段（提高）知识讲解【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质；3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形.要点诠释：　(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；要点二

2、、相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．要点三、比例线段1．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc；（2）合比性质：如果如果（3）等比性质：如果（4）比例中项：若a:b=b:c，则=ac，b称为a、c的

3、比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。要点四、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.≈0.618AB(叫做黄金分割值).要点诠释：线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似图形1.如果两个四边形的对应边成比例，能不能得出这两个四边形相似？为什么？【答案与解析】从我们日常生活的直观经验中可以得出结论.两个四边形对应边成比例，这两

4、个四边形不一定相似，如下图，边长是6的正方形和边长是2的菱形，它们对应边之比都是3，但它们形状并不一样，因而也不相似.　　　　　　　　　　　【总结升华】多边形的相似要满足两个条件：（1）对应角相等，（2）对应边的比相等.举一反三：【变式】下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）【答案】A类型二、相似多边形2.已知四边形与四边形相似，且.四边形的周长为26.求四边形的各边长.【答案与解析】∵四边形与四边形相似，且　　　　　 

5、.　　　　　又∵四边形的周长为26　　　　　 　　　　　即四边形的四边长为：.【总结升华】多边形相似周长比等于相似比.举一反三：【变式】等腰梯形与等腰梯形相似，，求出的长及梯形各角的度数.【答案】∵等腰梯形与等腰梯形相似　　　　3.某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.【答案与解析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为(20+2x)米，宽为(10+2x)米，　　　　将两个矩形的长与宽分别相比，得长的

6、比为，而宽的比为，　　　　很明显，所以做不到.【总结升华】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似.因为.类型三、比例线段4.在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为（　　）A.10mB.25mC.100mD.　10000m【答案】C；　　　　　　　【解析】设A、B两地间的实际距离为xm，根据题意得=，解得x=100．所以A、B两地间的实际距离为100m．【总结升华】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中

7、两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．举一反三：【变式】如果，那么的值是（　　）A.B.C.D.【答案】B；提示：∵，∴==．故选B．5.宽与长之比为的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论.【答案与解析】∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF,又∵,∴，即点F是AD的黄金分割点，∴,即∴，即，∴矩形CDEF是黄金矩形.【总结升华】根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即

8、可.