[高等教育]复变函数

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1、数学物理方法主讲：袁长迎教授Tel:13890109310E-mail:yuanchangying@swust.edu.cn1第一篇复变函数论第一章复变函数复数复变函数导数解析函数本章小结2作业§1.11.（6）（8）2.（6）（7）3.（4）（8）§1.22.（2）（3）（8）3.§1.31.§1.41.2.（1）（6）（10）3§1.1复数数的概念的扩展——自然数——减法不封闭→整数——除法不封闭→有理数——正数的指数运算不封闭→实数——负数的指数运算不封闭→复数41．复数和复数的代数式2．复平面实轴和虚轴OxyzφρRealpartImaginarypart53．

2、复数的三角式指数式(主辐角)4．无穷远点零点，辐角没有定义。模为无穷大，辐角没有定义。(模)(辐角)65．复数的运算加减乘除幂和开方复共轭7例已知一复数Z，画出，并指出它们的几何关系。8§1.2复变函数1．复变函数的定义函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射实变函数：y=f(x)复变函数：w=f(z)2．复变函数的定义域区域邻域内点外点境界点境界线闭区域93．初等复变函数指数函数三角函数和双曲函数10幂函数对数函数例：O11任意次幂函数根式函数例：单值分支黎曼面12如：13§1.3复变函数的导数一、复变函数的导数的定义柯西-黎曼方程（柯西-黎曼条件）二、求

3、导法则和导数基本公式三、复变函数导数存在的必要条件充分条件：连续，满足科希-黎曼条件14四、极坐标系中的科希-黎曼条件15§1.4解析函数一、解析函数的定义复变函数在区域B上处处可导。——区域B上的解析函数。二、解析函数与调和函数的关系调和函数：则为二维调和函数解析函数的实部和虚部都是调和函数。共轭调和函数16三、解析函数的性质是区域B上的两组正交曲线簇。若在区域B上解析，则四、举例：由实（虚）部求虚（实）部17例1已知是解析函数，且求出该解析函数。从而解：方法一：凑全微分法18方法二：不定积分法19方法三：曲线积分法20本章小结复变函数定义：两个复数集合之间的映射；特

4、点：定义域和值域为2维；分析：可以分解成2个二元实函数；解析函数满足CR条件；实部和虚部都是调和函数，相互正交。21路径积分（积分的定义）柯西定理不定积分柯西公式本章小结第二章复变函数的积分§4习题1、222§2.1复变函数的积分一、复变函数积分的定义二、复变函数积分的简单性质23例题1沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫Czdz从O到B的定积分。24例题2沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫z-1dz从A到D的定积分。解：25习题一按给定的路径计算积分：（1）沿路径C1：的上半圆周；（2）沿路径C2：的下半圆周。习题二计算积分：C分别为：（1）（2）（3）作业26§2

5、.2柯西（科希）定理一、单连通区域上的柯西定理或是闭合回路所围区域上的解析函数，则若格林公式27二、复连通域上的柯西定理是闭合回路所围的复连通区域上的解析函数，若则：28例1计算回路积分根据复连通区域上的科希定理，有令，则根据科希定理解：（1）回路不包围的情况（2）回路包围的情况29例2计算回路积分30§2.3不定积分例：计算不定积分31§2.4柯西公式一、柯西公式意义：解析函数的整体性：内部值完全由边界值决定。32证明如下：只需证明33二、柯西公式的推论推论一解析函数有任意阶导数。推论二模数原理f(z)在闭区域解析，则

6、f(z)

7、在边界上取最大值34模数原理的证明设在

8、边界上的极大值为，的极小值为，边界的长为，则令35推论三刘维尔定理全平面上有界的解析函数必为常数。证明：设令L为以z为圆心、R为半径的圆周令36例：计算回路积分37本章小结路径积分复变函数的积分可分解为2个线积分；一般情况下，积分与路径有关；柯西定理在单连通区域内解析，则积分与路径无关，完全由起点和终点决定；在复连通区域内解析，则回路积分等于沿回路里所有内边界线积分之和。柯西公式38第三章幂级数展开复数项级数幂级数泰勒级数展开解析延拓罗朗级数展开孤立奇点的分类本章小结39作业p373（1）（3）（4）4（1）（3）作业p41（2）、（3）作业p47（2）（3）（9）40

9、§3.1复数项级数部分和1．级数的定义2．级数收敛的必要条件3．绝对收敛绝对收敛则一定收敛，收敛不一定绝对收敛。414．绝对收敛的判别比值检验法根值检验法夹挤（逼）定理425．函数项级数一致收敛43§3.2幂级数1．幂级数的形式2．幂级数的收敛半径44例求收敛圆的半径，判断收敛圆上的敛散性：45§3.3函数的泰勒级数展开1．展开定理设在以为圆心，为半径的圆内解析，则：展开式是唯一的；幂级数在内收敛。462．应用举例例1在附近展开例2在附近展开例3在附近展开例4在附近展开47一、解析延拓的含意解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域