[高等教育]线性代数第二章

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1、逆矩阵的概念主要内容矩阵可逆的充要条件可逆矩阵的性质举例第三节逆矩阵引例矩阵多项式补充例题一、引例定义7设Ａ是n阶方阵，若存在n阶方阵Ｂ，使得AB＝BA＝E，（1）则称矩阵A可逆，且称B是A的逆矩阵，记作B＝A－1．如果不存在满足（1）的矩阵B，则称矩阵A是不可逆的．二、逆矩阵的概念现在的问题是，矩阵A满足什么条件时可逆？可逆矩阵的逆矩阵是否唯一，如何求逆矩阵？可逆矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题．三、矩阵可逆的充要条件定理1如果n阶矩阵Ａ可逆，则它的逆矩阵是唯一的．定理２n阶矩阵Ａ可逆的充要条件是

2、Ａ

3、0.如果Ａ可逆，则其中Ａ为矩阵

4、Ａ的伴随矩阵.由推论若AB=E（或BA=E），则B=A-1.可得下述推论：若n阶矩阵A的行列式不为零，即

5、A

6、0，则称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵.说明，矩阵A可逆与矩阵Ａ非奇异是等价的概念.定理２不仅给出了矩阵可逆的充要条件，而且给出了求矩阵逆矩阵的一种方法，称这种方法为伴随矩阵法.四、可逆矩阵的性质(2)设A,B,Ai(i=1,2,···,m)为n阶可逆矩阵，k为非零常数，则A-1,kA,AB,A1A2···Am,AT也都是可逆矩阵，且(1)(A-1)-1=A;(3)(AB)-1=B-1A-1,(A1A2···Am)-1=Am-1

7、···A2-1A1-1;（4）(AT)-1=(A-1)T;（5）（6）(Am)-1=(A-1)m,m为正整数.例10求二阶矩阵的逆矩阵.五、举例例11用伴随矩阵法求下列矩阵的逆矩阵：单击这里开始解答例12解矩阵方程AXB=C，其中例13设求An.六、矩阵多项式设(x)=a0+a1x+···+amxm为x的m次多项式，A为n阶方阵，记(A)=a0E+a1A+···+amAm，(A)称为矩阵A的m次多项式.1.定义从而A的多项式可以像数x的多项式一样相乘或分解因式.例如(E+A)(2E–A)=2E+A–A2,(E–A)3=E–3A+3A2–

8、A3.因为矩阵Ak、Al和E都是可交换的，所以矩阵A的两个多项式(A)和f(A)总是可交换的，即总有(A)f(A)=f(A)(A)，2.性质3.计算方法（1）如果A=PP–1，则Ak=PkP–1，从而(A)=a0E+a1A+···+amAm=Pa0EP–1+Pa1P–1+···+PammP–1=P()P–1.（2）如果=diag(1,2,···,n)为对角矩阵,则，k=diag(1k,2k,···,nk)，从而()=a0E+a1+···+amm例14设求(A)=A3+2A2–3A.例1设方阵A满足

9、证明都可逆，并求七、补充例题例2设求B.例3设n阶方阵A,B,A+B均可逆,证明(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A.例4设A为n(n≥2)阶方阵,证明

10、A

11、=

12、A

13、n-1.分块矩阵的定义主要内容分块矩阵的运算第四节矩阵分块法两种常用的分块法线性方程组的各种形式克拉默法则的证明对于行数和列数较高的矩阵A,运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.我们将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.一、分块矩阵的定义例如将3×4矩阵分成子块的分法

14、很多,下面举出三种分块形式:分法(1)可记为其中即A11,A12,A21,A22为A的子块,而A形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵.分块矩阵可类似写出,这里从略.分法(2)及(3)的二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,分别说明如下:1.加法运算设矩阵A与B的行数相同、列数相同,采用相同的分块法,有其中Aij与Bij的行数相同、列数相同,那么为常数,那么2.数乘运算设3.分块矩阵的乘法运算设A为m×l矩阵,B为l×n矩阵,分块成其中其中Ai1,Ai2,···,Ait的列数分别等于B1j,B2j,···,Btj的行

15、数,那么例15设求AB.4.分块矩阵的转置设则5.分块对角矩阵设A为n阶方阵,若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵,即其中Ai(i=1,2,···,s)都是方阵,那么称A为分块对角矩阵.分块对角矩阵的性质:(2)若

16、Ai

17、0(i=1,2,···,s),则

18、A

19、0,且(1)

20、A

21、=

22、A1

23、

24、A2

25、···

26、As

27、;例16设求A-1.三、两种常用的分块法1.按行分块对于mn矩阵A可以进行如下分块：2.按列分块对于mn矩阵A可以进行如下分块：对于矩阵A=(aij)ms与矩阵B=(bij)sn的乘

28、积矩阵AB=C=(cij)mn，若把A按行分成m块，把B按列分成n块，便有=(cij)mn，以对角矩阵m左乘mn矩阵A时，把A按行分块，有以对角矩阵m左乘