三角函数的几何表

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1、三角函数的几何表示xyP(x,y)MA(1,0)一、任意角三角函数的定义:定义2：任意角α的三角函数还可以用终边上任意点P（x,y）表示,设OP=r,则二、三角函数的定义域三角函数定义域sinαcosαtanαRR{α

2、α≠＋kπ(k∈Z)}三、三角函数在各象限的符号++++++------α00300450600900180027003600弧度sinαcosαtanα000110-100-101100不存在不存在其中k∈Z终边相同的角的同一三角函数的值相等。一、背景知识任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研

3、究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直到1464年，德国数学家雷基奥蒙坦著《论各种三角形》，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；14~16世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等。1631年，三角学输入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”。“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和

4、生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用。探究：角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.xyoMP(x,y)p(x,y)Mxop(x,y)xoxyoxyoMMMMppp正弦线余弦线思考：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα>1吗？POxyMMP＋OM>OP=1正切线:ATAT问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？PO

5、xyMATPOxyM正切线问题2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？ATATPOxyM思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？POxyMATAT思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是正数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tanα.ATOxyPATO

6、xyP思考：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？OxyPP当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：比较大小：sin1和sin1.5;解：由三角函数线得sin1cos1.5例2在0～内，求使成立的α的取值范围.OxyPMP1P2例3求函数的定义域.OxyP2MP1P求函数的定义域.求函数的定义域.思考：观察下列不等式：你有什么一般猜想？思考：对于不等式（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？POxyMAT例练讲解例3设α是任

7、意角，作α的正弦线、余弦线、正切线，由图证明下列各等式:sin²α＋cos²α＝1；AoyαPMTxN证明：（1）若角α终边落在象限内，由图可知sin²α＋cos²α=ON²+OM²=PM²+OM²=OP²=1若角α的终边落在轴上则

8、sinα

9、和

10、cosα

11、必有一个为1，另一个为0，sin²α＋cos²α＝1课堂小结1、单位圆：半径为单位长度的圆2、三角函数线：（1）正弦线（2）余弦线（3）正切线3、三角函数线的应用