数与式(初高中衔接训练题精讲)

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1、第一讲、数与式的运算（四课时）在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却

2、没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】证明：【例1】计算：解：说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】(立方和公式)证明:说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算：解：我们得到：【公式3】(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、

3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知，求的值．解：【例5】已知，求的值．解说明：注意字母的整体代换技巧的应用．引申：同学可以探求并证明：二、根式式子叫做二次根式，其性质如下：(1)(2)(3)(4)【例6】化简下列各式：(1)(2)解：(1)原式=(2)原式=说明：请注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)(2)(3)解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是

4、整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如)或被开方数有分母(如)．这时可将其化为形式(如可化为)，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如化为，其中与叫做互为有理化因式)．【例8】计算：(1)(2)解：(1)原式=(2)原式=说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设，求

5、的值．解：说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．【例10】化简说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例11】化简解：原式=说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再

6、进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．练习A组1．二次根式成立的条件是()A．B．C．D．是任意实数2．若，则的值是()A．－３B．３C．－９D．９3．计算：4．化简(下列的取值范围均使根式有意义)：5．化简：B组1．若，则的值为()：A．B．C．D．2．计算：(1)(2)3．设，求代数式的值．4．当，求的值．5．设、为实数，且，求的值．6．已知，求代数式的值．7．设，求的值．8．展开9．计算10．计算11．化简或计算：(1)(2)(3)(4)