《概率论》期末考试答案及解题思路

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1、一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1．设随机事件A,B满足PAB()0=，则下列各选项中正确的是____D____(A)A,B互不相容(B)A,B独立(C)PA()0=或PB()0=(D)PABPA()(−=)解：因为不可能事件是零概率事件，零概率事件未必是不可能事件，所以选项A是错误的；A,B独立的充分必要条件是PABPAPB()=()()，选项B、C不一定成立．事实上，从AA=+BAB，AB=−AB，PAB()0=可以推出PAPABPAB()()()()()=+==−PABPAB，所以选项D是正确的．2．设

2、甲、乙两人独立地向同一目标进行射击，每人射击1次，命中率分别为0.6和0.5，则在目标被击中的条件下，甲击中目标的概率为____C____3536(A)(B)(C)(D)511411考点：全概率公式和贝叶斯公式3．某厂产品的次品率为0.0055，在它生产的999件产品中，出现____B____件次品的概率最大．(A)4(B)5(C)6(D)7考点：二项分布的最可能取值（课本P.63定理2）4．10个球中只有1个红球，有放回地抽取，每次取一个球，设1≤kn≤，则随机事件“直到第n次抽取，红球才第k次出现”的概率为____C____k

3、n−kkn−k⎛⎞⎛⎞19k⎛⎞⎛⎞19(A)(B)C⎜⎟⎜⎟n⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠1010⎝⎠⎝⎠1010kn−kkn−1−kk−1⎛⎞⎛⎞19k−1⎛⎞⎛⎞19(C)C(D)Cn−1⎜⎟⎜⎟n−1⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠1010⎝⎠⎝⎠1010解法一：直接利用负二项分布的分布律求解（课本P.71）；解法二：利用伯努利试验序列求解．假设A表示“第i次抽取得到红球”，其中i=1,2,L，i1因为是有放回地抽取，所以每次抽取都是成功概率p=的伯努利试验．于是随机事件“直10到第n次抽取，红球才第k次出现”意味着前n−1次抽取中红球出现了k−1次

4、而且第n次抽取一定得到红球，所求概率就是kn−−1kkn−kk−1⎛⎞⎛⎞⎛⎞191k−1⎛⎞⎛⎞19C⎜⎟⎜⎟⎜⎟⋅，即C．n−1n−1⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠101010⎝⎠⎝⎠10105．设连续型随机变量ξ的密度函数和分布函数分别为f()x、Fx()，则下列各选项中正确的是____A____(A)0(≤≤Fx)1(B)f()x在(,)−∞+∞内连续(C)Pxf()(ξ==x)(D)PxF()(ξ==x)解：因为均匀分布的密度函数不是连续函数，所以选项B是错误的；对于连续型随机变量而言，对任意的常数值x，总有Px()ξ==0．（课

5、本P.95），所以选项C、D也是错误的．1−+−xx2216．设ξ服从正态分布，其密度函数fx()=e(−∞

6、)=，PBb()=，则PAB()I=1−−ab解：PAB(IU)=PAB()（对偶律）=−1()PABU（对立事件的概率）=−1([]PAPBPAB)(+)()−（加法公式）=−−1ab（）AB=∅⇒PAB()=02．设随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布且PP(1ξ=)(2==ξ)，则λ=2考点：泊松分布的分布律，其中λ>0．⎧πAxxcos,<⎪⎪23．设连续型随机变量ξ的密度函数fx()=⎨，其中A为待定参数，则⎪0,x≥π⎪⎩2⎛⎞π2P⎜⎟0<<=ξ⎝⎠44π+∞41⎛⎞π2解：由∫f()xdx=1推出A=，于是Pf⎜⎟0(

7、<<=ξ∫x)dx=．2⎝⎠44−∞04．设二维离散型随机变量(,)ξη的联合分布律为ξη1231111691812st321若ξ和η相互独立，则s=，t=99说明：课本P.164第13题．2⎛⎞ξ⎛⎞ξ15．设ξ存在非负的数学期望且E⎜⎟−12=，D⎜⎟−1=，则Eξ=2⎝⎠2⎝⎠222⎛⎞ξ122解：因为EE⎜⎟−=11()ξ−=2，所以E(ξ)=6．⎝⎠22⎛⎞⎛ξξ⎞11又因为DDD⎜⎟⎜−=1⎟=ξ=，所以Dξ=2．⎝⎠⎝22⎠4222于是()EEDξξξ=−()=4，Eξ=2．26．设ξ在区间(1,)−b上服从均匀分布

8、，若根据切比雪夫不等式可得P()ξ−<≥12，则3b=3−1+b解：已知ξ在区间(1,)−b上服从均匀分布，所以Eξ=．2Dξ−1+b由切比雪夫不等式可知，PE()ξξε−<≥1−，故Eξ==1，解得b=3．2ε2ξ−101三、（共8分）设离散型随