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1、人在雨中奔跑速度与淋雨量的关系1、问题重述淋雨是我们生活中常见的事件，已知要在雨中的一处沿直线跑到另一处，设雨速为常数且保持方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快淋雨量越少。可以将人体的模型简化为一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m,设跑步距离=1000m，跑步最大速度=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v。问题一，在不考虑雨方向的情况下，设降雨淋遍全身，人体以最大速度跑步，建立模型估计跑完全程的总淋雨量。问题二，雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的
2、夹角为θ，如图1,建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,l,w,θ之间的关系，问速度多大时，总淋雨量最少，计算和时的总淋雨量。问题三，与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,l,u,w之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算α时的总淋雨量。2、问题分析问题一，将人体简化成长方体，雨以降雨量w均匀地淋遍全身，求出人接受雨的总面积，人以最大速度跑步，并计算淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量w。问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向
3、在同一平面内且与人体夹角为θ，如图1所示。根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前后左右几个方向上。雨迎面吹来时，由于雨相对于人的速度有变化，因此人单位时间内接收雨量变化，且与相对速度成正比。据此，推算出前后侧上单位时间接受雨量。同理，头顶部位接雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比。分别计算出头顶侧与前后侧单位时间接雨量，并分别乘以各自面积以及时间d/t,即得到头顶及两侧淋雨的总量。在人体总的淋雨量.据此可得w与v之间关系，并能求出和时的总淋雨量。问题三，与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.
4、建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,l,u,w之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算α时的总淋雨量。3、模型的假设与符号说明3、1基本假设1、假设人行走的路线是直线；2、不考虑风的方向（即假定前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数；3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c表示，且abc都是定值。3、2符号说明a---长方体的长单位：mb---长方体的宽单位：mc---长方体的厚度单位：mw---降雨量单位：Lv---人跑步的速度单位：
5、m/sl---路程单位:m---人跑步的最大速度单位：m/st---淋雨时间单位:su---雨滴下落的速度单位：m/s---雨迎面吹来时与人体的夹角α---与从后面吹来与人体的夹角Q---淋雨量单位：Ls---全身面积单位：4、模型的建立与求解4.1问题一：全身面积s=2(ab+bc+ac)=2.2淋雨时间t=l/v=1000/5=200s降雨量w=2cm/h=cm/s故，淋雨量Q=stw=L4.2问题二：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量。（如图1）设雨从
6、迎面吹来时与人体夹角为，且0°<<90°，建立a，b，c，d，u，，之间的关系为：（1）考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为且方向与v相反，故人相对于雨的水平速度为：则前部单位时间单位面积淋雨量为：又因为前部的淋雨面积为：，时间为：d/v于是前部淋雨量V2为：即：①（2）考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量，且与v无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为，顶部面积为，淋雨时间为，于是顶部淋雨量为：②由①②可算得总淋雨量：代入数据求得：由V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度（v）以及雨线与人的夹
7、角（）两者有关。对函数V（v）求导，得：显然：<0，所以V为v的减函数，V随v增大而减小。因此，速度v=vm=5m/s，总淋雨量最小。（Ⅰ）当θ=0，代入数据，解得：V＝0.0011527778（m³）≈1.153（L）（Ⅱ）当θ=30°，代入数据，解得：V＝0.0014025(m³)≈1.403（L）4.3问题三若雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后部淋雨量。（如图2）设雨从背部吹来时与人体夹角为，且0°＜﹤90°,建立a，b，c，d，u，，之间的关系为：（1）先考
8、虑顶部淋雨量：当雨从背面吹来，而对于人顶部的淋雨量V1，它与模型①中一样，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：（2）后部淋雨量：人相对于雨的水平速度为：从而可得，人背部单位时间单位面积淋雨量为：可得人背部淋雨量为：而总淋雨量：V=V1＋V3从而有：③化简③式
