关于1^2+2^2+3^2+…+n^2的多种推导证明方法

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1、关于前n个自然数的平方和公式的证明方法湘西州花垣县边城高级中学-张秀洲在《数列》教学过程中，大家都能熟练掌握前n个自然数的平方和公式：，但多数学生不知道如何去证明与推导，为了能让学生了解书本知识，并能有所拓展，特总结如下几种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面能使学生举一反三，有所创新。在和学生探讨证明方法时，许多学生想到了用数学归纳法。方法一：数学归纳法当时，左边=，右边=左边=右边∴时，原式成立.当时，左边=，右边=左边=右边∴时，原式成立.假设时，成立，则时，左边=右边∴时，原式成立.∴对任意，都成立。数学归纳法步骤简单、计算方便

2、。但是，归纳法只适用于知道了这个公式“长什么样”后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归纳法,而是通过等式左边的,一步步把右边的“从无到有”地推算出来的.方法二：观察规律法记n12345…n1361015…15143055…?发现规律n12345…n…方法三：代数推导法由公式，得将以上n+1个等式累加，得：方法四：巧用“1”法方法五：构造法（利用组合公式）把上述n个等式累加得：方法六：平面几何法图中有n个正方形（边长每次加1）(我只画出5个)，都置于图中最大的矩形中。矩形的宽即n，矩形的长：矩形面积：左下部空余部分（矩形与

3、全部正方形的差）可以分为n-1条。每条宽度均为1。从上向下数第i条长度=1+2+3+…+i=则第i条面积也为。所有n-1条的总面积：为便于书写，记12+22+32+…+n2=t2显然，大矩形面积=全部正方形面积+空余部分面积，则即：方法七：三角阵法此三角阵中各项和为：再逆时针旋转60°：此三角阵中各项和为：再逆时针旋转60°：此三角阵中各项和为：将这3个三角阵相加： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．这个三角阵有项，则这三个三角阵的和为：.又因为前三个三角阵中各项的和相等，则每个三角阵中各项

4、和为：即【参考文献】[1]杜春辉.导出公式的三种方法[J].数学学习与研究:教研版,2009,11:80