函数的基本性质(含答案)

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1、教师辅导讲义年级：高一辅导科目：数学课时数：3课题函数的基本性质教学目的通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法教学内容【知识梳理】　　函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）【典型例题分析】例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.（1）证明f（x）是奇函数；（2）证明f（x）在R上是减函数；（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值.（1）证明：由f

2、（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0.∴f（－x）=－f（x）.∴f（x）是奇函数.（2）证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=f（x1）－f［x1+（x2－x1）］=f（x1）－［f（x1）+f（x2－x1）］=－f（x2－x1）.由x1＜x2，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0.∴－f（x2－x1）＞0，即f（x1）＞f（x

3、2），从而f（x）在R上是减函数.（3）解：由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在［－3，3］上的最大值是f（－3），最小值是f（3）.由f（1）=－2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×（－2）=－6，f（－3）=－f（3）=6.从而最大值是6，最小值是－6.例2、关于x的方程

4、x2－4x+3

5、－a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________________.解析：作函数y=

6、x2－4x+3

7、的图象，如下图.13

8、由图象知直线y=1与y=

9、x2－4x+3

10、的图象有三个交点，即方程

11、x2－4x+3

12、=1也就是方程

13、x2－4x+3

14、－1=0有三个不相等的实数根，因此a=1.答案：1例3、已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b≥0，c∈R）.若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.解：设符合条件的f（x）存在，∵函数图象的对称轴是x=－，又b≥0，∴－≤0.①当－＜－≤0，即0≤b＜1时，函数x=－有最小值－1，则或（舍去）

15、.②当－1＜－≤－，即1≤b＜2时，则（舍去）或（舍去）.③当－≤－1，即b≥2时，函数在［－1，0］上单调递增，则解得综上所述，符合条件的函数有两个，f（x）=x2－1或f（x）=x2+2x.变式练习：已知二次函数f（x）=x2+（b+1）x+c（b≥0，c∈R）.若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.解：∵函数图象的对称轴是x=－，又b≥0，∴－≤－.设符合条件的f（x）存在，13①当－≤－1时，即b≥1

16、时，函数f（x）在［－1，0］上单调递增，则②当－1＜－≤－，即0≤b＜1时，则（舍去）.综上所述，符合条件的函数为f（x）=x2+2x.例4、设f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a、b∈［－1，1］，当a+b≠0时，都有＞0.（1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小；（2）解不等式f（x－）＜f（x－）；（3）记P={x

17、y=f（x－c）}，Q={x

18、y=f（x－c2）}，且P∩Q=，求c的取值范围.解：设－1≤x1＜x2≤1，则x1－x2≠0，∴＞0.∵x1－x2＜0，∴f（x1）+f（－x2

19、）＜0.∴f（x1）＜－f（－x2）.又f（x）是奇函数，∴f（－x2）=－f（x2）.∴f（x1）＜f（x2）.∴f（x）是增函数.（1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）.（2）由f（x－）＜f（x－），得∴－≤x≤.∴不等式的解集为{x

20、－≤x≤}.（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，∴P={x

21、－1+c≤x≤1+c}.由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，∴Q={x

22、－1+c2≤x≤1+c2}.∵P∩Q=，13∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，解得c＞2或c＜－1.例5、建筑一

23、个容积为8000m3、深6m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元／米2，池底造价为2a元／米2，把总造价y元表示为底的一边长xm的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________m时总造价最低是___________元.解析：设池底一边长x（m），则其邻边长为（m），池壁面积为2·6·x＋2·6·＝12