第二章有限元法的基本原理

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1、第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。2.1.1微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件

2、的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数应满足微分方程组（在内）（2-1）域可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。同时未知函数还应满足边界条件（在内）（2-2）要求解的未知函数可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。，是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。所以在以上两式中采用了矩阵形式。以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：（在内）（2-3）（2-

3、4）这里表示温度（在渗流问题中对应压力）；是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度）；和是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；是有关边界的外法线方向；是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。在上述问题中，若和只是空间位置的函数时，问题是线性的。若和是及其导数的函数时，问题则是非线性的。由于微分方程组（2-1）在域中每一点都必须为零，因此就有（2-5）其中（2-6）其中是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。式（2-5）是与微分方程组（2-1）完全等效的积分形式。我们可以说，若积

4、分方程对于任意的都能成立，则微分方程（2-1）必然在域内任一点都得到满足。同理，假如边界条件（2-2）亦同时在边界上每一点都得到满足，对于一组任意函数，下式应当成立因此积分形式对于所有的和都成立是等效于满足微分方程（2-1）和边界条件（2-2）。我们把（2-7）式称为微分方程的等效积分形式。2.1.2等效积分的“弱”形式在一般情况下，对（2-7）式进行分部积分得到另一种形式：（2-8）其中，，，是微分算子，它们中所包含的导数的阶数较（2-7）式的低，这样对函数只需要求较低阶的连续性就可以了。在（2-8）式中降低连续性要求是以

5、提高和的连续性要求为代价的，由于原来对和（在（2-7）式中）并无连续性要求，但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。这种降低对函数连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分重要的。（2-8）式称为微分方程（2-1）和边界条件（2-2）式的等效积分“弱”形式。值得指出的是，从形式上看“弱”形式对函数的连续性要求降低了，但对实际的物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解，因为原始微分方程往往对解提出了过分“平滑”的要求。2.1.3加权余量法在求解域中，若场函数是精确解，则在域中任一点都

6、满足微分方程（2-1）式，同时在边界上任一点都满足边界条件（2-2）式，此时等效积分形式（2-7）式或（2-8）式必然严格地得到满足。但是对于复杂的实际问题，这样的精确解往往是很难找到的，因此人们需要设法找到具有一定精度的近似解。对于微分方程（2-1）式和边界条件（2-2）式所表达的物理问题，未知场函数可以采用近似函数来表示。近似函数是一族带有待定参数的已知函数，一般形式是（2-9）其中，是待定参数；是试探函数（或称基函数、形函数），为已知函数，它取自完全的函数序列，是线性独立的。所谓完全的函数系列是指任一函数都可以用此序列

7、表示。近似解通常选择使之满足强制边界条件和连续性的要求。例如当未知函数是压力时，可取近似解其中是待定参数，共有个。显然，在通常取有限项数的情况下近似解是不能精确满足微分方程（2-1）式和边界条件（2-2）的，它们将产生残差及残差及亦称为余量。在（2-7）式中我们用个规定的函数来代替任意函数及，即可以得到近似的等效积分形式（2-10）亦可以写成余量的形式（2-11）（2-10）式或（2-11）式的意义是通过选择待定系数，强迫余量在某种平均意义下等于零。和称为权函数。余量的加权积分为零就得到了一组求解方程，用以求解近似解的待定系

8、数，从而得到原问题的近似解答。求解方程（2-10）的展开形式是其中若微分方程组的个数为，边界条件的个数为，则权函数是阶的函数列阵，是阶的函数列阵。当近似函数所取试探函数的项数越多，近似解的精度将越高。当项数趋于无穷时，近似解将收敛于精确解。对应于等效积分“弱”形式（2-8）式，同样可以得到