函数概念的发展历程

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1、函数概念人教A版必修一函数概念的发展历程1.早期函数概念——几何观念下的函数十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。伽俐略G.Galileo，1564-1642意大利数学家1.早期函数概念——几何观念下的函数1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，大部分函数是被当作曲线来研究的。笛卡尔Descartes1596-1650法国数学家莱布尼兹G．W．Leibniz1646－1716德国数学家1673年，莱布尼兹首次使

2、用“function”(函数)表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。1.早期函数概念——几何观念下的函数约翰·伯努利（BernoulliJohan）1667-1748瑞士数学家函数概念2、十八世纪函数概念——代数观念下的函数1718年约翰·柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”强调函数要用公式来表示。欧拉L．Euler1707－1783瑞士数学家函数概念2、十八世纪函数概念——代数观念下的函

3、数18世纪中叶欧拉给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。函数概念3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数1821年，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。柯西Cauchy1789-1857法国

4、科学家函数概念3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数1822年傅里叶发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。傅里叶Fourier1768---1830法国数学家狄利克雷P.G.L.Dirichlet1805－1859德国数学家函数概念3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”

5、这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。函数概念3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。康托Cantor1845-1918德国数学家维布伦（美）Veblen，1880-1960函数概念4.现代函数概念──集合论下的函数1914年豪斯道夫在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，

6、其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。费利克斯·豪斯道夫FelixHausdorff1868—1942德国数学家李善兰1811－1882清朝数学家在1859年和英国传教士伟烈亚力和译的《代微积拾积》中首次将“function”译做“函数”．函数概念4.现代函数概念──集合论下的函数1930年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”综上所

7、述可知，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的。函数概念的发展历程