《工程力学》教学课件第十三章弯曲变形与静不定梁

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1、第一节弯曲变形的基本概念第二节梁的挠曲线近似微分方程第三节用叠加法计算梁的变形梁的刚度条件第四节静不定梁第十三章弯曲变形与静不定梁本章介绍了梁的弯曲变形的基本知识，主要包括挠曲线及梁的刚度条件。学习时要掌握梁的弯曲变形的基本概念，了解挠曲线近似微分方程的推导过程，掌握积分法和叠加法计算梁的变形，同时了解提高梁刚度的方法。了解变形比较法求静不定梁的计算过程。教学目的和要求梁弯曲变形的基本概念；挠曲线的近似微分方程；积分法和叠加法计算梁的变形；梁的刚度条件。教学重点挠曲线近似微分方程的推导过程；积分法和叠加法计算梁的变形；变形比较法求解静不定梁。教学难点第一节弯曲变形

2、的基本概念齿轮传动轴的弯曲变形轧钢机（或压延机）的弯曲变形1.挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程为式中，x为梁变形前轴线上任一点的横坐标，y为该点的挠度。CyABxC'y挠度转角挠曲线CyABxC'y挠度转角（）：横截面对其初始位置的所转过的角度,称为该截面的转角。转角挠度（y）:横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移，称为该截面的挠度。它们是度量梁变形后横截面位移的两个基本量。2.挠度和转角挠度与转角的关系（小变形的条件下）为挠度和转角符号的规定为挠度：向上为正，向下为负。转角：自x转至切线方向，逆时针转为正，顺时针转为负。一、挠

3、曲线近似微分方程上式就是挠曲线近似微分方程。小变形xM>0xM<0第二节梁的挠曲线近似微分方程对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、用积分法求梁的弯曲变形微分方程的积分式中C、D为积分常数，可根据梁的边界条件和连续性条件确定。PABCPD边界条件和连续性条件边界条件：挠曲线上某些点的挠度和转角是已知的。例如，图示简支梁铰支座处截面的挠度为零；悬臂梁固定端处截面的挠度和转角都等于零。连续性条件:挠曲线上任意点有唯一确定的挠度和转角。若连续性条件不满足，则挠曲线就不连续(图a)和不光滑(图b)。ABAB（1）边界条件为（2）连续性条件为（图a）（图b）

4、对上述梁：例13-1悬臂梁受集中载荷P作用，其抗弯刚度为EI，试用积分法求转角方程和挠曲线方程，并确定最大转角和最大挠度。解（1）建立坐标系并写出弯矩方程。（2）写出挠曲线近似微分方程并积分。（3）确定积分常数。PLx当时，，求得（4）写出挠曲线近似方程并画出挠曲线的大致形状。（5）最大转角及最大挠度（绝对值最大）。xPL（）（）例13-2图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布载荷作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度ymax和最大转角max。ABq解:由对称性可知，梁的两个支反力为ABq梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为(c)(

5、d)边界条件为将边界条件代入(c),(d)两式得梁的转角方程和挠度方程分别为在x=0和x=l处转角的绝对值相等且都是最大值，为ABqA在梁跨中点l/2处有最大挠度值ABq①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的边界条件、连续性条件确定。挠曲线近似微分方程④优点：使用范围广，可求出挠度和转角的普遍方程；缺点：计算较繁。积分法：第三节用叠加法计算梁的变形梁的刚度条件（1）小变形，轴向位移可忽略；（2）线弹性范围工作。（3）梁的挠度和转角与载荷成线性关系。多个载荷同时作用于结构而

6、引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。一、用叠加法求梁的弯曲变形OBPA例13-3用叠加法求如图所示梁的截面A的挠度和截面B的转角。EI=常量。解（1）P单独作用时，梁的左半段OA的变形如同悬臂梁在末端受集中力作用时的变形；右半段AB部分梁没有变形位移，但其有刚体位移。刚体位移可以看作是随A截面的平动与绕A截面的转动。所以B截面的转角等于A截面的转角。(2）MB单独作用时，A、B两截面变形位移可以直接从表中查出。（3）P和MB共同作用时，应用叠加法可得知，A截面挠度为两种载荷的代数和，B截面的转角也为两者的代数和。例13-4用叠加法求图示梁的，

7、EI=常量。qABCPM=+ABqAB+ABM解运用叠加法二、梁的刚度条件常见梁结构的许用挠度和许用转角如下：普通传动轴齿轮轴吊车梁楼盖梁例13-5如图所示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[y]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷[P]，并校核强度。解由刚度条件可得解得所以得由梁的最大弯曲应力为OBPAz120a因此，满足强度条件。三、提高梁弯曲刚度的措施梁的变形不仅与梁的受力和支承情况有关，而且还与梁的材料、截面形状与大小和梁的长度有关。提高梁刚度的措施为1.增大梁的抗弯刚度EI

8、；2.减小