北大离散数学cha

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1、代数系统简介这部分内容属于近世代数的范畴，近世代数是研究具有运算的集合，它第一次揭示了数学系统的多变性与丰富性。代数结构理论可用于计算机算法的复杂性分析，研究抽象数据结构的性质及操作，同时也是程序设计语言的理论基础。我们将介绍代数系统的最基本概念和最基本理论，以及几类常用的代数系统，它们是：半群，幺半群，群，环，域，格和布尔代数。本课程在第五，六章中介绍代数系统的内容。第五章代数系统的一般性质第一节二元运算及性质内容：二元运算，运算律，特殊元素。重点：(1)一元和二元运算的概念，(2)二元运算律(结合律，交换律，分配律)，(3)二元运算的特殊元素(幺

2、元，零元，逆元)。一般：吸收律，消去律，幂等律。一、二元运算。1、定义：设上的二元运算(即运算封闭)为集合，函数称为，，元运算，掌握，，即一元，二元运算。一、二元运算。2、记号：用等符号表示二元运算，称为算符。例如：记为(二元运算)记为(一元运算)但减法，除法不是。但除法不是。例1、(1)上的加法，乘法都是二元运算，(2)上的加法，乘法，减法都是二元运算，上求相反数的运算是一元运算。(3)非零实数集上的乘法和除法都是二元运算。但加法，减法不是，而求倒数是一元运算。(4)表示所有阶实矩阵的集合则矩阵的加法和乘法都是二元运算。，都是二元运算，(5)集合的

3、幂集上的而绝对补集(为全集)是一元运算。(6)所有命题公式的集合上的都是二元运算，而否定为一元运算。(7)表示集合上的所有函数的集合，函数的合成运算是上的二元运算。3、一元，二元运算表。当为有穷集时，都可以用运算表给出。上的一元和二元运算例2、(1)设，给出上的运算绝对和对称差的运算表。补集解：，“”为一元运算，“”为二元运算，其运算表如下：例2、(2)设，定义二元运算如下：上的两个求运算和的运算表。解：分别是，的和与积除以5的余数，运算表如下：二、有关运算律。设是上的二元运算，1、若，则称在(或称满足交换律)上可交换。2、若，则称在(或称满足结合律

4、)上可结合。二、有关运算律。设是上的二元运算，3、若则称运算对是可分配的。(或称对满足分配律)(2)矩阵的加法和乘法在上是可结合的，加法可交换，但乘法不可交换，乘法对加法是可分配的。例3、(1)普通的加法和乘法在上都是可结合的，且是可交换的，乘法对加法是可分配的。(3)在幂集上可结合，可交换，但是相对补不可结合，不可交换，和是互相可分配的。(4)在全体命题公式集合上可结合，可交换，和是相互可分配的。三、一些特殊元素。设为上的二元运算，1、幺元：若，对则称，为运算的幺元。注：(1)若幺元存在必唯一。(2)若只有或只有，则，称为左幺元或右幺元。在上，矩阵

5、加法的幺元是阶0矩阵，矩阵乘法的幺元是阶单位矩阵。在幂集上，运算的幺元是，运算的幺元是全集。例如：在上，加法的幺元是0，乘法的幺元是1。在算没有幺元，只有右幺元0上的减法运例4、在(非零实数集)上定义运算如下：则中的任何元素都是右幺元，但没有左幺元，使，从而没有幺元。2、零元：若，对，，则称为运算的零元。注：(1)若零元存在必唯一。(2)若只有，或只有，则分别称为左零元或右零元。如例4的任何元素都是左零元，从而也没有零元。但没有右零元，例如：在上加法没有零元，乘法的零元是0。在上矩阵加法没有零元，矩阵乘法的零元是阶0矩阵。在幂集上，运算的零元是，运算

6、的零元是。3、逆元：设为上的二元运算，为运算的幺元，若对，存在，使，则称为的逆元。注：(1)逆元是针对某个元素而言的(可能有些元素有逆元，有些没有)(2)若二元运算满足结合律且存在则必唯一。的逆元3、逆元：设为上的二元运算，为运算的幺元，若对，存在，使，则称为的逆元。注：(3)若只有或只有，则称为左逆元或右逆元。例如：普通加法运算在上有幺元0，仅在上任意元素有逆元，满足在上只有0有逆元0，而其它的自然数就没有逆元。在上矩阵的乘法只有可逆矩阵存在逆元。幂集上关于运算有幺元，但除了外，其余元素都没有逆元。例5、判断普通的加法和乘法运算在下列集合中是否二元

7、运算。(1)解：加法，乘法都不是二元运算。(2)解：加法不是二元运算，乘法是二元运算。例5、判断普通的加法和乘法运算在下列集合中是否二元运算。(3)解：加法，乘法都是二元运算。(4)解：加法不是二元运算，乘法是二元运算。例5、判断普通的加法和乘法运算在下列集合中是否二元运算。(5)解：加法不是二元运算，乘法是二元运算。例6、在实数集上定义运算如下：(1)是上的二元运算吗？解：因，是二元运算。(2)在上满足交换律，结合律吗？解：因，满足交换律，，满足结合律。例6、在实数集上定义运算如下：(3)关于有幺元，零元吗？解：因对，，故0为幺元，因，故为零元。例

8、6、在实数集上定义运算如下：(4)关于每个元素有逆元吗？解：，有且时，无逆元。故时，，例7、设，二元运算和定