图像处理中的傅里叶变换

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1、图像变换图像变换的目的在于：①使图像处理问题简化；②有利于图像特征提取；③有助于从概念上增强对图像信息的理解。图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求：①正交变换必须是可逆的；②正变换和反变换的算法不能太复杂；③正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理。因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。在此讨论常用的傅立叶变换。频域世界与频域变换任意波形可分解为正弦波的加权和傅立叶变换在学习傅立叶级数的时候，一个周期为T的函数f

2、(t)在[-T/2,T/2]上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，则在[-T/2,T/2]可以展成傅立叶级数可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理。连续函数的傅立叶变换1.一维连续函数的傅立叶变换令f(x)为实变量x的连续函数，f(x)的傅立叶变换用F(u)表示，则定义式为若已知F(u)，则傅立叶反变换为这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：傅立叶变换中出现的变量u通常称为频率变量。2.二维连续

3、函数的傅立叶变换傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连续和可积的，且F(u，v)是可积的，则二维傅立叶变换对为二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为

4、F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2(u，v)]1/2φ(u，v)=tan-1[I(u，v)／R(u，v)]E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)离散函数的傅立叶变换1.一维离散函数的傅立叶变换假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如图所示。将序列表示成f(x)=

5、f(x0+x△x)即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}。被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为F(u)=式中u=0，1，2，…，N﹣1。反变换为f(x)=式中x=0，1，2，…，N-1。例如：对一维信号f(x)=[1010]进行傅立叶变换。由得u=0时，u=1时,u=2时,u=3时,在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为F(u)==Af(x)xy1-1j-j2.二维离散函数的傅立叶变换在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为F(u，v)=式中u

6、=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。f(x，y)=式中x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。为提高傅立叶变换算法的速度，从软件角度来讲，要不断改进算法；另一种途径为硬件化，它不但体积小且速度快。原图离散傅立叶变换后的频域图例如数字图像的傅立叶变换二维离散傅立叶变换的性质1）线性

7、设F1(u,v)和F2(u,v)分别为二维离散函数f1(x,y)和f2(x,y)的DFT，则式中a，b是常数2）可分离性将式分成两部分乘积设式后面的求和项为：此式表示对每一个x值，f(x,y)先沿每一行进行一次一维傅立叶变换再将F(x,v)沿每一列进行一次一维傅立叶变换，就可得二维傅立叶变换F(u,v)，即上述过程用图表示为显然，改为先沿列后沿行分离为两个一维变换，其结果是一样的。即二维离散傅立叶反变换的分离过程与上述相似，所不同的只是指数项为正。若f(x,y)←→F(u,v)，则2）平移性(1)(2)(3)频移/空移时，幅度

8、不变。(4)当u0=v0=N/2时,即，如果需要将图像频谱的原点从起始点(0,0)移到图像的中心点(N/2,N/2)，只要f(x,y)乘上(-1)^(x+y)因子,再进行傅立叶变换即可（a）原始图像(b)中心化前的频谱图(c)中心化后的频谱图图像频谱的移动实例4)周期性和共轭对称性周期性共轭对称性5）旋转不变性引入极坐标有：此式表明，如果f(x,y)在空间域中旋转θ0角度后，相应的傅立叶变换F(u,v)在频域中也旋转同一θ0角。反之亦然。傅立叶变换的旋转性傅立叶变换的旋转性8）微分性质定义f(x,y)的拉普拉斯算子为按二维傅立

9、叶变换的定义，可得：拉普拉斯算子通常用于检测图像的边缘6）分配性和比例性分配性比例性对于两个标量a和b，有7）平均值二维离散函数的平均值定义如下：将u=v=0带入F(u,v)公式，得所以：9）卷积定理连续函数卷积定理两个二维连续函数f(x,y)和g(x,y)的卷积定义为设f(