13-层次分析法特征根以及其他特别问题

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1、1.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理1正矩阵A的最大特征根是正单根，对应正特征向量w，且定理2n阶正互反阵A的最大特征根n,=n是A为一致阵的充要条件。正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。一致性指标定义合理2.正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算精确计算的复杂和不必要简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。和法——取列向量的算术平均列向量归一化算术平均精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010根法——取列向量的几何平均幂法——迭代算法1

2、）任取初始向量w(0),k:=0，设置精度2)计算3）归一化5)计算简化计算4）若，停止；否则，k:=k+1,转23.特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应问题一致阵A,权向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,应选权向量w使wi/wj与aij相差尽量小（对所有i,j)。用拟合方法确定w非线性最小二乘线性化——对数最小二乘结果与根法相同按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。成对比较Ci:Cj(直接比较）aij~1步强度aisasj~Ci通过Cs与Cj的比较aij(2)~2步强度更能反映Ci对Cj的强度多步累积效应体现多步累积效应定理1特

3、征向量体现多步累积效应当k足够大,Ak第i行元素反映Ci的权重求Ak的行和4.不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联不完全层次结构设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得讨论由w(2),W(3)=(w1(3),w2(3))计算第3层对第1层权向量w(3）的方法贡献O教学C1科研C2P2P1P3P4例:评价教师贡献的层次结构P1,P2只作教学,P4只作科研,P3兼作教学、科研

4、。C1,C2支配元素的数目不等不考虑支配元素数目不等的影响仍用计算支配元素越多权重越大用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1再用计算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T支配元素越多权重越小教学、科研任务由上级安排教学、科研靠个人积极性考察一个特例：5.残缺成对比较阵的处理mi~A第i行中的个数

5、为残缺元素辅助矩阵6.更复杂的层次结构递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。制动底盘车轮方向盘发动机减震装置刹车转向运行加速性能汽车行驶性能汽车1汽车2汽车n……例层次分析法的优点系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、测试分析并列）；实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；简洁性——计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。层次分析法的局限囿旧——只能从原方案中选优，不

6、能产生新方案；粗略——定性化为定量，结果粗糙；主观——主观因素作用大，结果可能难以服人。